算法学习笔记_问题转换
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问题转换
什么是问题转换
简而言之，就是将陌生的问题转换成熟悉的问题后，借助解决此熟悉的问题间接地解决原来陌生的问题。
将相异代表系问题转换成二分图上的匹配问题
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相异代表系问题
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二分图上的匹配问题
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转换为二分图上的匹配问题
将相异代表系问题转换成分图 上的匹配问题。转换后，根据表的输人，可以画出如上图所示的二分图。此图的最大匹配可以代表在社团中选出的会长名单
当最大匹配的个数小于社团的个数时，代表无法帮每个社团选出-位专职的会长。此外，二分图上的匹配问题可用匈牙利法( the Hungarian Method )
将二分图上的匹配问题转换成网络流图问题
- 网络流图问题
接下来，我们将二分图上的匹配问题转换成网络流图问题。首先，将匹配问题的(无方向)二分图转换成网络流图问题的有向网络。以上表中 的匹配问题为例，我们在二分图G=(S, T, E)上下分别新增两顶点s和t (源点和汇集点)。其中，源点s连接朝向S中的所有顶点，汇集点T中的所有顶点连接朝向顶点t。接着，将所有原来E中的连线改成从s指向T的有向连线，如下图
上图将无向的二分图改成有向的网络
紧接着，让网络上每条连线的容量为1。直觉上，使用二分图改造的网络，其流量的瓶颈就是原来二分图的中间连线。当在此网络上找到最大流量时，必须经过二分图中的最多连线以传输最大流量，也可以间接地找到原来二分图上的最大匹配，如下图中 的粗线。
上述网络流图问题可使用福特富尔克森法(Ford-Fulkerson Mecho)找到-个整数解。
将网络流图问题转换成线性规划问题
最后的例子是将网络流图问题转换成线性规划问题。线性规划问题对我们来说并不陌生，如农夫养猪羊的问题。
线性规划问题
接下来，我们将网络流图问题转换成线性规划问题。首先， 重新叙达网络流量问题如下:
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个网络流图是在每一条连线。上决定其流量fe).值不可超过容量c(e)。
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除了源点s和汇集点t外，每一个顶点需符合“流人流量的总和等于流出流量的总和”
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网络流图问题是找出一个网络流图，使得流出源点s的流量总和最大。
经观察发现，(1) 和(2)和限制式有关，而(3)用于阐述目标函数。我们会逐步将这3个叙述转换成线性规划问题。
受限于：
如同前面两次的转换，线性规划问题也可以被单纯形法( Simplex Method )所解。
问题转换的技巧
问题转换的技巧是将 一个陌生问题转换成较熟悉的问题。使用较熟悉问题早已存在的解法间接地解决此陌生问题，如上图所示。
当我们面对一个陌生问题时， 常会问:“该转换到哪 个问题呢? 。
如果你熟悉的问题本来就不多，上面的问题就难有答案了! 反之，如果你常常比较两个问题间的相似处和不同处，应该会对这两个问题产生更深的体会。
引用利亚先生(G. Polya)在《如何解题》中的-段话，作为本章的结束语:
“你以前看过这个问题吗?你看过相似的问题吗?你看过相关的问题吗?
“这里有一一个相关而且知道解法的问题。你能使用它吗?你能使用它的结果吗?你能使用它的方法吗?你可以引入一些辅助元素以便使用它吗?
“你可以重新表达这个问题吗?你可以用不同的方式表达这个问题吗?”
–END—