autolayout中的线性规划算法 —— simplex

什么是auto layout

auto layout是苹果公司提供的一个基于约束布局，动态计算视图大小和位置的库，而且已经集成到xcode开发环境里。如下两个时间点须要注意。

1. 1997年，auto layout所用到的布局算法cassorwary被发明了出来。
2. 2011年，苹果公司将cassowary算法运用到了自家的布局引擎auto layout中

autolayout 的生命周期

Auto Layout不仅有布局算法Casswory，还包含了布局在运行时的生命周期等一整套布局引擎系统，用来赞成管理布局的建立、更新和销毁。

这一整套布局引擎系统叫作Layout Engine，是Auto Layout的核心，主导着整个界面布局。

每一个视图在获得本身的布局前，Layout Engine会将试图、约束、优先级、固定大小经过计算转换成最终的大小和位置。每当约束发生变化，就会触发Deffered Layout Pass，完成后进入监听约束变化的状态。当再次监听到约束变化，就会进入到下一轮的循环中。过程以下图。

UIStackView

UIStackView是一个容器决定排版的布局模式，容器大小的变化，会影响子项的排版。相似于前端体系中的flexbox的简化版。

1. UIStackView是一个虚拟容器，它的layer不被绘制，设置背景、边框、阴影这些外观是无效的。
2. 若是咱们使用约束，不定义栈视图的大小，只定义位置，这个时候，栈视图不会再改变管理内容的大小，可是它会自动计算出本身须要的大小，也就是变成了不会换行的流逝布局。也就是说会生成一个固有大小，进行内容自适应的排版。

线性规划问题

线性规划（Linear programming，简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用普遍、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。

例以下面例子，就是一个线性规划问题：

要求所买食物中，至少有2000能量，55蛋白质，800钙，求最省钱的方案。

能够列出不等式组：

这就是一个线性规划问题。

可行域

来看一个例子，考虑以下线性规划：

能够画出以下的图：

灰色部分的区域称做为可行域，从途中能够直观的看出，x1 = 2, x2 = 6时，取到最大值为8。

这里有一个定理是，能够证实老是在交点处取到最大值。

标准形式

标准形式为：

min        cT X
s.t.       A X <= b

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松弛形式

min        cT X

s.t.       A X = b
		   X >= 0
复制代码

注意：

1. 全部的线性规划形式都是>=或<=，等号不能够去掉，不然可能无解。
2. 上述全部变量为列向量，cT表明c的转置矩阵。
3. 松弛形式和松弛变量会在后文提到。
4. 注意标准形式为<=，求min，若是是反过来的，只须要增长一个负号是不等式翻转便可。

单纯形算法

单纯形法是求解线性规划的经典方法，虽然它的执行时间在最坏的状况下是非多项式的（指数时间复杂度），可是在绝大部分状况或者说实际运行过程当中，它的确是多项式时间。

步骤：

1. 找出一个初始的基本可行解。
2. 不断执行旋转(pivot)操做。
3. 重复步骤2直到结果不能改进为止。

例题

考虑以下线性规划问题：

引入松弛变量后的形式：

分离基本变量和非基本变量：

注：等号右边的叫基本变量，左边的叫非基本变量。即引入的松弛变量为基本变量，原变量为非基本变量。

考虑基本解为，将非基本变量设为0，并计算左边基本变量的值，这里很容易获得，基本解为：(0, 0, 0, 4, 2, 3, 6)T。通常而言基本解是可行的，咱们称之为基本可行解（不可行的问题后面讨论）。

如今来进行第二个步骤，旋转的操做：

每次选择一个在目标函数中系数为负数的非基本变量Xe，而后尽量的增长Xe而不违反约束，并选取基本变量Xi,而后将其位置互换。

例如，咱们选择替入变量为X1，替出变量为X5，而后替换两者的角色。执行一次转动的过程与以前所描述的线性规划是等价的。替换后以下：

一样的，将非基本变量设为0，因而获得解：(2, 0, 0, 2, 0, 3, 6)T，目标函数的值减小为-2。
继续转动，只能选取X2或者X3，不能选择X5，由于此时X5的系数是正的。假设选取替入变量X2，替出变量X4，将会获得如下结果：

此时基本解变为了(2, 2, 0, 0, 0, 3, 0)T，目标函数值为-30。

继续选择增大X5，选取最严格的等式4进行替换，得：

基本解变成了(2, 2, 0, 0, 0, 3, 0)T，目标函数值为-30。

接着还能够转动X3，过程省略，最后目标值为-32，已经没有能够转动的值了，所以获得目标值为-32。

特殊状况

退化

在旋转过程当中，可能会存在保持目标值不变的状况，这种现象称之为退化。好比上面的例子里出现了两次-30。不过没有产生循环的状况。

1. 目标条件中，系数为负的第一个做为替入变量。
2. 对全部约束条件中，选择对xe约束最近的第一个。
3. 加入随机扰动。

无界

在运算过程当中可能会出现无界的状况，须要注意，例如做图出来是两条平行的线的状况

矩阵 & 程序

对于上方的例题来讲：

咱们能够获得以下几个矩阵：

C = (-1, -14, -6, 0, 0, 0, 0)
B = (4, 2, 3, 6)T

<img style="border-radius: 0.3125em;" 
src="https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/20f1e8f4192a4b4ab499c1feab89a775~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image">
复制代码

> 矩阵A：约束条件的系数
> 矩阵B：约束函数的值
> 矩阵C：目标函数的系数

如今须要将这些矩阵拼接成一个矩阵：

这里不难看出，左下角放的是B，右上角放的是C，右下角放的是A，而左上角那一个数字，放的是-z。

能够看出，若是将等式改写成 基本变量 = F(非基本变量)的形式的话，B和C是不变的，A矩阵中，基本变量符号相同，非基本变量符号相反。

咱们这里选取X1和X5进行翻转，获得矩阵以下：

那么这里是怎么变换过来的呢？

首先看矩阵第三行，咱们须要改写成X1 = X5，其实很是简单，将该行每个元素除以X1的系数就能够了。

那么其它行呢，其余行实际上是将X1消去，例如第一行，其实是将X1的系数和第三行中X1的系数变成同样后做差。例如这里第一行* -1后减去第三行。其它行同理。

这里经过尝试就能够发现，左上角其实是-z，具体缘由能够在尝试中体会。

不断进行替入与替出，直到第一行中全部的系数都为正。

这里咱们贴出 demo 代码，你们能够自行尝试：

import numpy as np
 
class Simplex(object):
    def __init__(self, obj, max_mode=False):
        self.max_mode = max_mode
        self.mat = np.array([[0] + obj]) * (-1 if max_mode else 1)
     
    def add_constraint(self, a, b):
        self.mat = np.vstack([self.mat, [b] + a])
     
    def solve(self):
        m, n = self.mat.shape
        temp, B = np.vstack([np.zeros((1, m - 1)), np.eye(m - 1)]), list(range(n - 1, n + m - 1))  # add diagonal array
        mat = self.mat = np.hstack([self.mat, temp])
        while mat[0, 1:].min() < 0:
            col = np.where(mat[0, 1:] < 0)[0][0] + 1
            row = np.array([mat[i][0] / mat[i][col] if mat[i][col] > 0 else 0x7fffffff for i in range(1, mat.shape[0])]).argmin() + 1  # find the theta index
            if mat[row][col] <= 0: return None
            mat[row] /= mat[row][col]
            ids = np.arange(mat.shape[0]) != row
            mat[ids] -= mat[row] * mat[ids, col:col + 1]
            B[row] = col
        return mat[0][0] * (1 if self.max_mode else -1), {B[i]: mat[i, 0] for i in range(1, m) if B[i] < n}
复制代码

from Simplex import Simplex
 
t = Simplex([-1, -14, -6])
t.add_constraint([1, 1, 1], 4)
t.add_constraint([1, 0, 0], 2)
t.add_constraint([0, 0, 1], 3)
t.add_constraint([0, 3, 1], 6)
print(t.solve())
print(t.mat)
复制代码

文中若有错误，欢迎指出。

参考文献

• [1] [线性规划-单纯形算法详解] www.hrwhisper.me/introductio…
• [2] [Auto Layout是怎么进行自动布局的，性能如何？] time.geekbang.org/column/arti…
• [3] [Solving Linear Arithmetic Constraints for User Interface Applications] constraints.cs.washington.edu/solvers/uis…