浅谈排队论

01 排队论背景与发展介绍

排队论最早起源于对电话通讯排队接线的研究，早在1909年，丹麦数学家A. K. Erlang 发表了The Theory of Probabilities and Telephone Conversations 初步产开了对由于随机需求的出现而产生非稳态队列的现象的研究。在他后期的工作中，他发现了几个重要结论: 自动电话通讯系统可以以两种基本概率模型模拟: 1. 泊松输入，指数分布服务时间，多服务流 2. 泊松输入, 稳定常态服务时间，单服务流。Erlang亦提出队列稳态平衡的概念与排队系统的初步优化办法。Erlang 之后，多名学者将其工作做进一步的衍生拓展：Thornton Fry: Probabilities and Its Engineering Uses, Felix Pollaczek 进一步整理了泊松输入，广义输出的单/多服务流模型，同时俄罗斯数学家Kolmogorov, Khintchine也涉足该领域。排队论本源自对实际现象的研究，而后接近半个世纪，排队论主要为理论模型发展，(生灭理论，嵌入马尔可夫模型) 。直到二战以后，学者开始为该理论赋予应用价值，大量研究开始导向如何精确求解先前学者留下的复杂数学模型，并直接应用于现实的管理决策中。主要如复杂排队模型，排队网络的近似解与数值模拟办法等。近现代排队论主要为管理决策软件的开发提供理论与模拟支持。

02 排队机制与基本模型办法

2.1 基本排队机制

在绝大多数情况下，以下6个基础属性可以较完善地描述一个排队等待现象。
(1)顾客的抵达分布情况

顾客可以指实体的顾客，如银行排队等待的客人，亦可代指等待安排维修的机器;
抵达分布情况是指如何用概率模型模拟相邻顾客抵达服务台的时间间隔

(2) 服务台的服务情况

银行窗口服务不同业务的时间分布，生产线中每道工序所用时间的时间分布等。

(3) 排队原则
(4) 系统容纳量
(5) 服务台数量
(6) 服务流程数量

2.1.1 顾客的抵达分布情况

在大部分队列中，顾客的抵达都是随机现象(非随机现象如完美平衡的生产流水线)。因此需要用一个概率模型模拟各个相邻顾客的抵达时间间隔。常见模型如指数分布。

关于为何指数分布与泊松过程能较好地模拟随机现象，参见本节2.3。

同时一些特殊的客户表现亦需要参考，比如:如果一个客户遇到较长队列，他可能会拒绝加入(balked)；现有队列的客户由于排队时间过长而离开(impatience, reneged). 当出现多条服务流时，顾客会在不同队列之间流动，导致从理论上讲的绝对完美等长多服务流(jockey)。
最后，如果顾客抵达时间的概率分布不随时间而变化，称之为稳态抵达分布(stationary), 反之非稳态(non-stationary)。

2.1.2服务台的服务情况

亦称之为服务机构。不同服务台的服务时间亦需要用一个概率模型来表示。比如医院急诊室每个医生诊疗时间的时间分布，维修车间对每台等待维修的机器的处理时间分布等。
以下几个特殊现象亦需特殊考虑: 服务时间的长短与队列的长短有关，这个很好理解，当一个柜员看到顾客较多时，自然会加快业务处理速度 (state-dependent). 同样，服务时间亦可随时间变化而变化(维修工逐渐积累经验),出现stationary 和 non-stationary。

2.1.3 排队原则

先到先服务, first come first service ( FCFS).
后到先服务原则(LCFS). 比如从仓库里取货，后到的货物由于堆在最外围，往往先被取走。
随机服务原则，比如车牌号摇号，不随从任何先来后到的原则……
优先排队原则: 如果军人抵达的话，可以直接排到队列首位(priority discipline)。

2.1.4 系统容纳量，服务台数量，服务流程数量

这三兄弟相对好理解, 系统容纳量: 火车站排队大厅最多容纳一千人队列，服务台数量: 某银行总行有12个窗口，而郊区支行只有4个，服务流程数(会形成复杂排队网络): 体检项目顺序依次一个有10项，某产线共有24道工序，为消除排队需要平衡产线。

图1. 某多服务台，多服务流程队列网络

2.2 常见术语与Notation

对于常见的大部分模型，我们均假设顾客抵达时间的分布，服务台服务时间的分布为独立同分布(independent and identically distributed), 通用队列模型表达式如下:

对于常见的大部分模型，我们均假设顾客抵达时间的分布，服务台服务时间的分布为独立同分布(independent and identically distributed), 通用队列模型表达式如下:

表1：通用队列模型表达式符号汇总
值得注意的是，我们会常常省去后两个位置，默认为系统无容纳上限，先到先服务原则。如非常经典又基础的 M/M/1 及 M/M/S 模型 (顾客抵达与服务时间均为指数分布，一个或多个服务台).


Utilization Factor(暂译为占用率)，是一个排队系统顾客抵达速率与总共多个平行服务速率的比值。很好理解，这个值如果大于1的话，队列会无限变长，而这个值小于1的话，队列系统会从一开始的过渡状态 (transient condition) 逐渐趋于稳态 (steady-state condition) 关于这个状态的过渡与转换的讨论，不在本文章讨论之中，笔者在此呈现的各种有趣结论，均以稳态队列为对象:

2.3 关于泊松输入源的一些讨论

本节我们讨论一个问题: 为什么泊松过程/指数分布能成为基础的模拟顾客的随机到达与服务的完成时间分布？

2.3.0 补充知识

a. 常见离散概率分布

• 二项分布 X∼B(n,p)
  

• 泊松分布 X∼Poisson(λ)
  λ表示单位时间（面积或体积等）该事件平均发生次数（到达率），则p(x=k)表示单位时间（面积或体积等）该事件发生k次的概率
  
  

• 负二项分布 X∼NB(r,p)
  

• 几何分布 X∼Ge§
  

• 超几何分布 X∼HyG(N,M,n)
  

b. 常见连续概率分布

• 均匀分布 X∼U(a,b)
  

• 指数分布 X∼Exp(λ)
  

• Erlang分布
  

爱尔郎分布与指数分布一样多用来表示独立随机事件发生的时间间隔。相比于指数分布，爱尔郎分布更适用于多个串行过程，或无记忆性假设不显著的情况下。除非退化为指数分布，爱尔郎分布不具有无记忆性，一次对其分析相对困难。一般通过将爱尔郎过程分解为多个指数过程的技巧来对爱尔郎分布进行分析。

• 一维正态分布 X∼N(μ,σ2)
  

• 多维正态分布 X∼N(μ,Σ)
  

c. 概率论常用分布期望与方差总结

d. 泊松分布、二项分布、爱尔朗分布的推导与关系

①二项分布：

重复n次伯努利实验，且每次实验只有两种相互对立结果，每次实验相互独立，这样的实验叫做n重伯努利实验，得到事件发生的次数的分布叫二项分布。
概率分布：
数字特征：将n重伯努利实验分解为n个二项分布易得，期望为np，方差为np(1-p)。

伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

②二项分布到泊松分布

考虑对于一段时间（或面积、体积），即单位时间，将其分为n段（n->∞），因为每段对应时间级短，那么p也应该接近0,。那么此时事件发生的次数就服从泊松分布，而原二项分布的期望，即np, 就是事件的平均发生次数，即λ=np。

注：第二行到第三行，因为n趋于无穷大，那么n(n-1)…(n-k+1)=n^k

③泊松分布到指数分布：

如果下次事件发生间隔为t，那么等同于t时间内事件发生次数为0，即从泊松分布推导到指数分布：

④指数分布与爱尔郎分布：


⑤指数分布无后效性的推导：

无后效性（马尔科夫性）：

当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态，即在现在状态时，他与过去状态是条件独立的，即该过程是马尔科夫过程，即具有马尔科夫性质。

e. 应用与举例

①泊松分布

在实际事例中，当一个事件以固定的平均速率出现时随机且独立地出现时，那么这个时间在单位时间（面积或体积等）内出现的次数或个数近似服从泊松分布。

如：

某医院平均每小时出生3个婴儿；（单位时间）

某公司平均每小时接到3.5个电话；（单位时间）

采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组平均产生3个嘧啶二体。（单位基因组）

②指数分布

指数分布表示两次事件（服从泊松分布）发生间隔为t的概率。

可用来表示：

婴儿出生的时间间隔；

服从泊松分布的服务的时间间隔；

③指数分布的无记忆性：

如果一个随机变量服从指数分布，那么对于s,t>0，有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。

例如：若果某原件寿命为T，已知使用了t小时，那么它总共使用了s+t小时和其从开始起来使用s小时概率相同。

2.3.1 指数分布

下面我们讨论指数分布的性质与其在基础排队模型中的作用。

2.3.2

2.3.3 无记忆性

2.3.4 几个独立的指数分布变量的最小者亦为指数分布

2.3.5泊松过程与指数分布

2.3.6 不受聚合/离散的影响

03 常见模型 M/M/1 及 M/M/S

3.1 为什么选择这两个模型

很简单，这两个模型假设顾客抵达与服务时间为指数分布，时间流程为泊松过程，任何复杂队列模型都是由他们衍生出来的…….由于篇幅受限，本文往后都会集中在这两个基础模型上。关于更多衍生参考模型，请参阅文末reference list.

3.2 生灭过程

The Birth-and-Death Process. 为了得出M/M/1 及 M/M/S的一般公式，笔者认为有必要简单推导下…… 该模型为连续时间马尔可夫过程(continuous time Markov chain)，要介绍全很困难，这里就给一个简易推导。

取决于两个时间的长短。

另，上述过程可有下图来表示.

在稳态队列的情况下: 任何系统状态的进出速率应该相当。举一个例子，系统在状态0的情况下: 从状态0转移到状态1(没有顾客到一个顾客)时，离开与进入相等:

通过迭代法计算(步骤省去，直接给结论):



以上为生灭原理下队列模型的通用结论。

3.3 M/M/1 模型与 M/M/S 模型

3.3.2 M/M/S 模型

04 案例分析

这里我们给出一个小case study:

已知某生产线在执行某项特殊高危高精度工艺时，有10台机器共同运作。由于人员配置紧张，该产线只安排的8名工人同时操作8台机器，另外两台设备随时standby为替补更改工装/加工设备，工厂这样安排的目的是为了保持满负荷运作。目前该工厂只安排了1名工人更改工装与加工设备。

已知该工艺流设备平均每20天需要下线更改工装，而更改工装工人平均需2天的时间完成设备的重新设置。由于队列等待现象，产线经常出现不满8台生产的情况。目前管理层正在考率是否要再雇佣一名工人执行机器下线操作。已知每个线下工人公司给的酬薪大约是每天280RMB，而每天由于产线未满负荷运作而产生的利润损失为每台额外下线机器400RMB。你作为工业工程师被指派study这个问题，请问你会对管理层作出怎样的决策推荐以求公司利润最大化？

首先我们用数学语言翻译下上述条件:




所以我们可以计算出下表：


所以，通过排队论模型分析，尽管公司添加工人的话产线能够保持最大化利用，但是此时的运营成本大于只雇佣一名工人的情况，我们向管理层推荐的决策为不要雇佣第二个工人。

05 插一句话

5.1 文章总结

本文初步介绍了排队论的理论发展历史背景。并简单回顾了泊松过程与指数分布在广义一般化排队模型中的应用必要性。又详细地基于连续时间状态马尔可夫过程归纳出了M/M/1与M/M/S模型几个基本结论并配以一个工业界地实际应用案例分析。读者应该可以大致初步掌握排队论的应用范围与方法。其他衍生模型，如非指数分布，混线，排队网络，队列数量限制等，篇幅受限，不再赘述，感兴趣地读者可以翻阅文末的参考资料。

参考文献：

1.J.D.C. Little, “A Proof for the Queueing Formula: L=W”, Operations Research, 9(3):383-387, 1961.

2.“Introduction to Operation Research”, 7th edition, Hillier & Lieberman, McGraw-Hill.

3.“Elements of Queueing Theory, Palm Martingale Calculus and Stochastic Recurrences”, 2nd edition, Francois Baccelli, Pierre Bremaud, Springer.

4.“Fundamentals of Queueing Theory”, 4th edition, Donald Gross, John F. Shortle, James M. Thompson, Carl M. Harris, Wiley.

5.“Introduction to Probability Models”, 11th edition, Sheldon M. Ross.

6.“Stochastic Modelling and Optimization”, University of Toronto, Viliam Makis.

7.“Probability and Statistics for Engineers and Scientists”, 9th edition, Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/99131787 http://xiang-chen.github.io/2015/06/11/%E5%B8%B8%E8%A7%81%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83%E7%9A%84%E5%88%86%E5%B8%83%E5%87%BD%E6%95%B0-%E6%9C%9F%E6%9C%9B-%E6%96%B9%E5%B7%AE/ https://www.jianshu.com/p/c05bafb52877