动态规划之编辑距离问题

问题描述:

 

对于序列S和T, 它们之间的距离定义为: 对两者其一进行几回如下操做: 1, 删除一个字符; 2, 插入一个字符; 3, 改变一个字符. 每进行一次操做, 计数增长1. 将S和T变为相等序列的最小计数就是二者的编辑距离(edit distance)或者叫类似度. 请给出相应算法及其实现. 

 

分析:

 

假设序列S和T的长度分别为m和n, 二者的编辑距离表示为edit[m][n]. 则对序列进行操做时存在如下几种状况:

• a, 当S和T的末尾字符相等时, 对末尾字符不须要进行上述定义操做中(亦即"编辑")的任何一个, 也就是不须要增长计数. 则知足条件: edit[m][n] = edit[m - 1][n - 1].
• b, 当S和T的末尾字符不相等时, 则须要对二者之一的末尾进行编辑, 相应的计数会增长1.
• b1, 对S或T的末尾进行修改, 以使之与T或S相等, 则此时edit[m][n] = edit[m - 1][n - 1] + 1;
• b2, 删除S末尾的元素, 使S与T相等, 则此时edit[m][n] = edit[m - 1][n] + 1;
• b3, 删除T末尾的元素, 使T与S相等, 则此时edit[m][n] = edit[m][n - 1] + 1;
• b4, 在S的末尾添加T的尾元素, 使S和T相等, 则此时S的长度变为m+1, 可是此时S和T的末尾元素已经相等, 只须要比较S的前m个元素与T的前n-1个元素, 因此知足edit[m][n] = edit[m][n - 1] + 1;
• b5, 在T的末尾添加S的尾元素, 使T和S相等, 此时的状况跟b4相同, 知足edit[m][n] = edit[m - 1][n] + 1;
• c, 比较特殊的状况是, 当S为空时, edit[0][n] = n; 而当T为空时, edit[m][0] = m; 这个很好理解, 例如对于序列""和"abc", 则二者的最少操做为3, 即序列""进行3次插入操做, 或者序列"abc"进行3次删除操做.

因此, 以上咱们不难推出编辑距离的动态规划方程为:

, 其中

 

因此, 字符串编辑距离的动态规划算法的递归实现能够用以下的Java代码表示:

 1     public static int editDistance(String a, String b) {
 2         if (a == null || b == null) {
 3             return -1;
 4         }
 5         return editDistance(a, a.length() - 1, b, b.length() - 1);
 6     }
 7 
 8     public static int editDistance(String a, int m, String b, int n) {
 9         if (m < 0 || n < 0) {
10             return 1;
11         } else if (a.charAt(m) == b.charAt(n)) {
12             return editDistance(a, m - 1, b, n - 1);
13         } else {
14             return Math.min(Math.min(editDistance(a, m - 1, b, n) + 1, editDistance(a, m, b, n - 1) + 1), editDistance(a, m - 1, b, n - 1) + 1);
15         }
16     }

 

UPDATE:

同时, 由编辑距离的动态规划方程咱们能够看出, edit[m][n]能够由edit[m - 1][n - 1], edit[m - 1][n], edit[m][n - 1]得出, 而若是edit是一个二维数组的话, edit[m][n]能够由它的上, 左, 左上三个位置的元素经过条件判断得出. 亦即咱们能够经过遍历二维数组, 而后经过回溯来计算当前值.

例如对于字符串S = "sailn"和T = "failing", 对二维数组进行初始化为:

m\n		f	a	i	l	i	n	g
	0	1	2	3	4	5	6	7
s	1	1
a	2
i	3
l	4
n	5

由于S[0] = s, T[0] = f, 则S[0] != T[0], 则对应于上述二维矩阵, edit[1][1] = min(edit[0][0], edit[0][1], edit[1][0]) + 1即edit[1][1] = min(0, 1, 1) + 1即edit[1][1] = 0 + 1 = 1. 

m\n		f	a	i	l	i	n	g
	0	1	2	3	4	5	6	7
s	1	1	2	3	4	5	6	7
a	2	2	1
i	3
l	4
n	5

而对于S[1] = a, T[1] = a, S[1] = T[1], 则对应于二维矩阵, edit[2][2] = edit[1][1], 因此edit[2][2] = 1. 因此按照这种规则, 将上述二维矩阵填满则以下:

m\n		f	a	i	l	i	n	g
	0	1	2	3	4	5	6	7
s	1	1	2	3	4	5	6	7
a	2	2	1	2	3	4	5	6
i	3	3	2	1	2	3	4	5
l	4	4	3	2	1	2	3	4
n	5	5	4	3	2	2	2	3

因此, 二者的编辑距离为edit[m][n] = edit[5][7] = 3.

因此, 按照上述思路即动态规划的回溯解法的Java版本能够以下进行:

 1     public static int editDistance(String a, String b) {
 2         if (a == null || b == null) {
 3             return -1;
 4         }
 5         int[][] matrix = new int[a.length() + 1][b.length() + 1];
 6         for (int i = 0; i < a.length() + 1; i++) {
 7             for (int j = 0; j < b.length() + 1; j++) {
 8                 if (i == 0) {
 9                     matrix[i][j] = j;
10                 } else if (j == 0) {
11                     matrix[i][j] = i;
12                 } else {
13                     if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1)) {
14                         matrix[i][j] = matrix[i - 1][j - 1];
15                     } else {
16                         matrix[i][j] = 1 + Math.min(Math.min(matrix[i - 1][j], matrix[i][j - 1]), matrix[i - 1][j - 1]);
17                     }
18                 }
19             }
20         }
21         return matrix[a.length()][b.length()];
22     }