并查集_贪心_求无向图最短连通路径_最小生成树(kruskal)

 

A: 树学家丁丁妹

题目描述

为了响应国家“退耕还林”的号召，丁丁妹正在将她的大头菜田改形成树林。

然而这和这道题并无什么关系。

重要的是，丁丁妹思考了以下一个问题：

给定一个有n 个点m 条边的无向图，每条边有一个边权c 。

 

如何选择n−1 条边来让这个无向图连通，而且使得这n−1条边的边权之和最小呢？

显然这个问题对于丁丁妹来讲太困难了，因而她又花重金聘请了你，但愿你来解决这个问题。 

输入描述

单组数据，第一行为两个正整数n,m 。

接下来m 行，每行有三个正整数x,y,c ，表示x 号点和y号点之间存在一条边权为c 的无向边。

 

数据保证：

1. 对于80% 的数据， 1 ≤ n,m ≤ 1000

2. 对于100%  的数据，1≤n,m≤1000000

3. 对于100%  的数据， 1 ≤ c ≤ 100

输出描述

 

一个整数 c ，表明边权之和的最小值；若没法选择n−1条边让图连通，输出− 1 。

样例输入

3 3

1 2 1

1 3 2

2 3 3

样例输出

3

 

 

思路:

这个题一看数据量 1e6 这么大,指定不能用二维数组,因此最短路或者dp直接求实在是行不通,

问的是联通图, 最短连通路径,又须要压缩空间来优化, 很容易就想到并查集

另外, 注意这里说的连通路径不是那种"一笔画的"欧拉路, 而是 ------- 连通的可交叉的路径-------相似一棵树

实际上---------最小生成树------------就是咱们要求的连通路径

问题在于怎么使用并查集来表示一条完整的,"从1-n都能连通的路径",另外每条路径都该怎么算出来

 

并查集来表示存在的连通关系, 咱们知道 find()函数就是为了 将全部连通的节点归到同一个"根"上面,

这样能够造成一个"同根树",若是发现全部的节点都只有一个根, 说明这个图是联通的,

最小生成树的求解-----Kruskal算法/Prim算法-----实际上就是贪心!!! 

这里用Kruskal , 咱们把全部的边排序,每次操做,

• 检查是否加入新边,是否和已有边连通冲撞
• 是则加入, 而且更新节点的根(合并)

最后只检查新边是否和成环,最后检查是否全部的点都连通,检查边的数目是否为n-1便可

注意合并是怎样的,好比

      6         和       4                  

1    3   5           2     7

 存在5,2 之间有一条边, 显然不是5-2合并,由于这样就会有两个根了, 检测连通靠的是根是否相同,

因此, 另外一棵树的根,   也就是6  ,接到另外一棵树,

至于怎么接,    这里看须要, 若是保持结构的话, 就要以5为根旋转成, 

  5              相似于平衡树, 6的爸爸变成5,   而后 5 的爸爸变成2,这样就保持了原来的结构性质

  6

1   3

若是须要完全压缩,尽可能优化查找时间,那就让, 6, 1, 3, 5 的爸爸变成 4

假如不要求时间和效率, 咱们只要求联通路径长, 简单合并就能够了 

----好比, 6---右边的爸爸-------变成--------左边的爸爸-------2也能够获得确结果,以下代码,  可是会TE

 

1 int l=find(x[i].l);
2 int r=find(x[i].r);
3 f(r!=l) {
4     k++;
5     ans+=x[i].d;
6     f[r]=x[i].l;
7 }

 

改为了把6的爸爸变成4, 仍是TE,6---右边的爸爸-------变成--------左边的爸爸-------2

1 if(r!=l) {
2     k++;
3     ans+=x[i].d;
4     f[r]=l;
5 }

 

缘由在于没有固定好一个策略合并, "右边的合并到左边的"并非一个有序的策略,

由于节点是有序号的, 可是, 输入的时候并无规定大的节点必定在右边

也不能保证, 好比大的节点合并到小的那里去,

因此加个判断条件,改为这样就过了

1 if(r!=l) {
2     k++;
3     ans+=x[i].d;
4     if(r>l)f[r]=l;
5     else f[l]=r;
6 }

完整代码:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7 const int M=1000000+10;
 8 int n,m;
 9 struct D {
10     int l,r;
11     int d;
12     D() {
13         l=0,r=0,d=0;
14     }
15 } x[M];
16 int f[M];
17 void init() {
18     for(int i=1; i<=n; i++) {
19         f[i]=i;
20     }
21 }
22 int find(int t) {
23     return f[t]==t?t:find(f[t]);
24 }
25 /*
26 int find(int t1) {
27     int t=t1;
28     while(f[t]!=t) {
29         t=f[t];
30     }
31     return t;
32 }
33 */
34 bool cmp(D a,D b) {
35     return a.d<b.d;
36 }
37 int main () {
38     memset(x,0,sizeof(x));
39     scanf("%d%d",&n,&m);
40     init();
41     ll ans=0;
42     for(int i=1; i<=m; i++) {
43         int l,r;
44         scanf("%d%d%d",&x[i].l,&x[i].r,&x[i].d);
45     }
46     sort(x+1,x+1+m,cmp);
47     int k=0;
48     bool t=0;
49     for(int i=1; i<=m; i++) {
50         int l=find(x[i].l);
51         int    r=find(x[i].r);
52         if(r!=l) {
53             k++;
54             ans+=x[i].d;
55             if(r>l)f[r]=l;
56             else f[l]=r;
57         }
58         if(k==n-1) {
59             t=1;
60             break;
61         }
62     }
63     if(t==0)cout<<"-1";
64     else printf("%lld",ans);
65     cout<<"\n";
66     return 0;
67 }

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