Unity3D - Shader - 点和矢量

点和矢量

点（point）：是n维空间中的一个位置，无大小、方向。

矢量 (vector)：用于和标量区分开，矢量是n维空间中一种包含了大小(模 - magnitude)和方向(direction)的有向线段。

1. 矢量的模指的是这个矢量的长度（大小），其值是任意非负数。
2. 矢量的方向则描述了在空间中的指向。

重要的：使用被用于表示相对于某个点的偏移（displacement），它实际上是一个相对量，只要适量的模（大小）和方向保持不变，无论在空间的哪里都是同一个矢量。

二维坐标系中：
X轴基矢量：(1, 0)
Y轴基矢量：(0, 1)

三维坐标系中：
X轴基矢量：(1, 0, 0)
Y轴基矢量：(0, 1, 0)
Z轴基矢量：(0, 0, 1)

若是把矢量的尾部固定在坐标系原点，那么这个矢量的表示就和点的表示重合了：

矢量运算

标量乘法

公式：

kv=(kvx,kvy,kvz)

几何意义是：
把矢量v和标量k相乘，意味着对矢量v进行一个大小为k的缩放.

矢量的加法和减法

两个矢量相加会得到相同维度的新矢量：

公式：

a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)a−b=(ax−bx,ay−by,az−bz)

几何：
用于计算一点相对一另一点的位移。

矢量的模

矢量的模长是一个标量，是矢量在空间中的长度。

公式：

∣∣v⃗ ∣∣=v21+v22+⋯+v2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

单位矢量

模为1的矢量就是单位矢量。

单位矢量也称作被归一化的矢量（normalized vector）。

将任意非零矢量转化为单位矢量的过程就是归一化（normalizeation）。

归一化公式：

v⃗ =v⃗ ∣∣v⃗ ∣∣

零矢量：
每个分量都是0，且不可以被归一化。

矢量的点积

点积(dot product，也称为内积 inner product)

点积公式:

a⋅b=(ax,ay,az)⋅(bx,by,bz)=axbx+ayby+azbz

几何意义：
得到投影（projection）的长度。

若已知单位矢量 â  和另一个矢量 b⃗  ，那么 â ⋅b⃗  点积则可以得到矢量 b⃗  在单位矢量 â  的平行线段上的带有带有符号的投影的长度。

若矢量 a⃗  不是单位矢量，那么 a⃗ ⋅b⃗  点积的结果就是 b⃗  在 a⃗  方向上的投影值，再乘以 a⃗  的模长。

投影值可能为负数：

1. 若 a⃗  和 b⃗  的夹角大于90°，那么结果小于0.
2. 若 a⃗  和 b⃗  的夹角等于90°，那么结果等于0.
3. 若 a⃗  和 b⃗  的夹角小于90°，那么结果大于0.

矢量的叉积

叉积(cross product) 也称为外积(outer product)，叉积的结果仍是矢量。

叉积得到的新矢量与原来两个矢量垂直。

叉积公式：

a⃗ ×b⃗ =(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)

新矢量的方向：
新矢量的方向由所在向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系的左右手定则。