二重积分

一、概念

1. 和式极限

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\cdot\frac{b-a}{n}\cdot\frac{d-c}{n}$∬D​f(x,y)dσ=limn→∞​∑i=1n​∑j=1n​f(a+nb−a​i,c+nd−c​j)⋅nb−a​⋅nd−c​

简单来说就是凑出 $\frac{i}{n}$ni​、 $\frac{j}{n}$nj​和两个 $\frac{1}{n}$n1​，然后化为 $\int_0^1dx\int_0^1f(x,y)dy$∫01​dx∫01​f(x,y)dy

2. 普通对称性

已知函数： $I=\iint_Df(x,y)d\sigma$I=∬D​f(x,y)dσ，若区域 $D$D具有某种对称区域 $D_1和D_2$D1​和D2​：

1. $f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y)=f(-x,-y)=f(y,z)=f(x,2a-y)=f(2a-x,y)$f(x,y)=f(−x,y)=f(x,−y)=f(−x,−y)=f(y,z)=f(x,2a−y)=f(2a−x,y)则：
   $I=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma$I=∬D1​​f(x,y)dσ
2. $f(x,y)=-f(-x,y)=-f(x,-y)=-f(-x,-y)=-f(y,z)=-f(x,2a-y)=-f(2a-x,y)$f(x,y)=−f(−x,y)=−f(x,−y)=−f(−x,−y)=−f(y,z)=−f(x,2a−y)=−f(2a−x,y)则：
   $I=0$I=0

3. 轮换对称性