03-乘法和逆矩阵

1、矩阵乘法

　矩阵乘法有下面的理解：

　两个矩阵相乘=第三个矩阵，即$A*B=C$，咱们能够理解为矩阵$A$与矩阵$B$的每一列相乘（$A$的各列的线性组合=$C$中的某一列），获得矩阵$C$的每一列

 

 

　也能够这么理解，矩阵$C$中的每一个元素$c_{ij}$来自矩阵$A$的第i行和矩阵$B$的第j列点乘：

 

 

　第三种理解：以行为单位，$A$中某一行与矩阵$B$总体相乘（即矩阵$B$各行的线性组合结果）= 矩阵$C$中某一行

　第四种就是列×行，即$A$中各列×$B$中各行：

　固然也能够将矩阵$A$和$B$进行分块相乘：

 

2、逆矩阵

　这里讨论方阵，先说不可逆的状况（这里先举个例子，下面的示例矩阵不可逆）：

$\left|\begin{array}{lll}{1} & {3} \\ {2} & {6}\end{array}\right|$

　解释：若是某个矩阵的列向量的线性组合能够获得0向量，那么该矩阵不可逆

　OK，咱们知道了某矩阵存在可逆矩阵，那么如何求出来逆矩阵呢？如

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}\end{array}\right]$

 　咱们将逆矩阵用未知变量填充：

　根据以前所将，矩阵乘法能够理解为矩阵$A$与逆矩阵$A^{-1}$的第一列相乘获得$I$的第一列，矩阵$A$与逆矩阵$A^{-1}$的第二列相乘获得$I$的第二列，

　也就是$A$与逆矩阵的第$j$列相乘结果是$I$的第$j$列，因而可知，求逆矩阵和解方程组相似，但这些方程组有类似的系数（即矩阵$A$），可是方程右侧向量不一样（单位矩阵$I$的不一样列向量），对于上面的例子：

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c} \\ {d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right]$

若是咱们求出a，b，c，d，那么咱们就获得矩阵$A$的逆矩阵

　高斯若尔当消元法能够联合两个方程组同时求得a，b，c，d，方法是对增广矩阵进行消元，将左边变成单位矩阵，那么右边就是要求的逆矩阵$A^{-1}$，增广矩阵以下：

$\left[\begin{array}{llll}{1} & {3} & {1} & {0} \\ {2} & {7} & {0} & {1}\end{array}\right]$

消元1：$\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {3} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {-2} & {1}\end{array}\right]$

左边变成单位矩阵-3变为0：$\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {0} & {7} & {-3} \\ {0} & {1} & {-2} & {1}\end{array}\right]$

综上过程咱们能够获得逆矩阵

 

　下面划重点：咱们来解释一下高斯若尔当消元法求逆矩阵为什么能行得通（也就是上面的消元过程为什么能够出逆矩阵）

　　咱们先总结一下上面的过程：（将增广矩阵$AI$转换成$I?$，？即为要求的逆矩阵）

高斯若尔当消元：$\left[\begin{array}{ll}{A I}\end{array}\right]=>\left[\begin{array}{ll}{I ?}\end{array}\right]$

　　在02-消元咱们曾经讲过，矩阵消元的每一步过程能够用初等矩阵$E$来实现，整个过程能够根据矩阵相乘结合律来用一个矩阵$E$实现，咱们这里假设上面的整个转换过程能够借助矩阵$E$实现：

$E\left[\begin{array}{ll}{A I}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{I ?}\end{array}\right]$

　　根据咱们以前矩阵相乘所讲（矩阵$E$与$[AI]$相乘，能够理解为矩阵$E$分别与矩阵$A$和矩阵$I$相乘）：

$E$ * $A$ = $I$　　(1)

$E$ * $I$ = $?$　　(2)

　　由（1）可知$E = A^{-1}$，代入（2），可得$?=A^{-1}$

 

　这就是高斯若尔当消元法求逆矩阵行得通的缘由