02-矩阵消元

本博客是学习MIT-线性代数笔记，Gilbert Strang大神讲的通俗易懂，感兴趣的能够观看视频

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1、消元

　如今咱们有一个方程组，如何求解呢？消元法是个不错的方法：

$\begin{array}{c}{x+2 y+z=2} \\ {3 x+8 y+z=12} \\ {4 y+z=2}\end{array}$

　咱们用矩阵形式来表示上面的方程组：

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

$b=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {12} \\ {2}\end{array}\right|$

$x=\left|\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right|$

　要求解方程组，也就是咱们须要获取一个向量$x$，使得：

$Ax=b$

 

　如何进行消元呢？ 消元的目的就是把矩阵$A$变成上三角矩阵$U$：

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第二行减去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第三行减去第二行乘以2）$U=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {0} & {5}\end{array}\right|$

注意：这里的1，2，5是主元，消元的过程当中主元不能是0

　对向量$b$执行相同的操做：

$b=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {12} \\ {2}\end{array}\right|$ ===》（第二行减去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {2}\end{array}\right|$ ===》（第三行减去第二行乘以2）$c=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {-10}\end{array}\right|$

通过消元，其实咱们得到下面的方程组：

$\begin{aligned} x+2 y+z &=2 \\ 2 y-2 z &=6 \\ 5 z &=-10 \end{aligned}$

　而后回代：

$5z=-10$，因此$z=-2$，从而求得$x=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right|$

 

2、行向量与矩阵相乘

　前面咱们讲了矩阵和列向量相乘，几何意义就是矩阵列向量的线性组合，若是咱们反过来呢？

　咱们想一想一个行向量和矩阵相乘的意义又是什么呢？能够理解成矩阵的行向量的线性组合

 3、矩阵消元能够借助一个矩阵来实现

　前面已经讲解了矩阵和列向量相乘的几何解释（矩阵列向量的线性组合），又反过来说了行向量和矩阵相乘的几何解释（矩阵行向量的线性组合）

　有了前面两步讲解，咱们知道消元的过程，每一步消元的结果能够经过矩阵来实现，好比：上面第一步讲解中第二行减去第一行乘以3

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第二行减去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

这一步如何借助一个矩阵来实现呢？

　经过消元过程咱们发现该步骤是矩阵的行进行了线性组合，原来单位矩阵$E=\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right|$，单位矩阵与任何矩阵相乘仍是矩阵自己，对该单位矩阵进行行的线性组合：第二行减去第一行乘以3，即

$E_{21}=\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {-3} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right|$

也就是这个矩阵与原矩阵相乘获得消元后的矩阵

$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

 

　而第二步是第三行减去第二行乘以2，咱们须要什么样的矩阵来实现这个过程呢？同理，应该从单位矩阵转化而来：

 $E_{32}=\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

　注意：上面的E表明单位矩阵，E数字下标表明初等矩阵（单位矩阵一步转化而来）

　综上：消元的每个咱们均可以用一个初等矩阵来实现，咱们把每个合并，即$E_{32}(E_{21}A) = U$，$U$表示消元后矩阵（你看看有多么的简洁明了）

　思考一下：若是如今我想从$A$矩阵一步到位获得消元矩阵$U$，能够借助哪一个矩阵来实现呢？矩阵结合率告诉咱们这个帮忙的矩阵会是：$(E_{32}E_{21})$，即$(E_{32}E_{21})A=U$

 

4、如何检验结果矩阵中的某一元素的来源？

　好比：如今要检验结果矩阵中第二行第三列元素的来源

 

 

　这个-2来自第一个矩阵的第二行和第二个矩阵的第三列的点乘