BZOJ上除了0ms的Rank1啦。明明这题常数很好优化的。优化
首先,\(n=1\)时有\(2\)个位置放叶子,\(n=2\)时有\(3\)个... 可知\(n\)个点的有标号二叉树有\(n!\)种。(一个二叉树的中序遍历是惟一的,有\(n!\)种,也能够获得这个结论)spa
\(Sol1\)
考虑对每条边两边的点集计算贡献。即设一条边一边有\(size\)个点,另外一边有\(n-size\)个点,那么它的贡献是\(size(n-size)\)。
直接把边放到点上,枚举每一个点\(i\)(边就是\(i\to fa[i]\)),再枚举\(size_i\)。\(size_i\)就是\(i\)子树的大小。
考虑此时的方案数。\(i\)子树和\(i\)子树外是独立的。
对于\(i\)子树,有\(size_i!\)种树的形态,而标号分配有\(C_{n-i}^{size_i-1}\)种方案(\(i\)子树内点的编号要\(\geq i\))。因此\(i\)子树有\(size_i!\times C_{n-i}^{size_i-1}\)种。
对于\(i\)子树外部,首先构造出\(i\)个点的树有\(i!\)种方案。而后还有\(n-i-size_i+1\)个点须要放在\(i\)子树外的任意位置,方案数是\((i+1-2)(i+2-2)...(i+n-i-size_i+1-2)\)。两个乘起来,就是\(i(i-1)(n-size_i-1)!\)。
那么答案就是\[\sum_{i=2}^n\sum_{size_i=1}^{n-i+1}size_i(n-size_i)size_i!\cdot C_{n-i}^{size_i-1}\cdot i(i-1)(n-size_i-1)!\]code
\(Sol2\)
递推。考虑由枚举大小为\(L,R\)的两棵左右子树来获得\(L+R+1\)个点的树。那么知道深度就能够算两棵子树间的距离了。
令\(f[i]\)表示\(i\)个节点的树,全部\(i!\)种可能中,全部点深度的和(根节点深度为\(1\))。
令\(g[i]\)表示\(i\)个节点的树,全部\(i!\)种可能中,全部点两两之间的距离的和。
转移的时候枚举左右子树的大小\(L,R=i-L-1\),有\[\begin{aligned}f[i]&=i*i!+\sum_{L=0}^{i-1}C_{i-1}^L(f[L]*R!+f[R]*L!)\\g[i]&=\sum_{L=0}^{i-1}C_{i-1}^L(g[L]*R!+g[R]*L!+f[L]*R!*(R+1)+f[R]*L!*(L+1))\end{aligned}\]get
这样\(g[n]\)就是答案啦。io
//16540kb 196ms #include <cstdio> #define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod) typedef long long LL; const int N=2005; const LL LIM=1ll<<61; int C[N][N],fac[N],g[N]; int main() { int n,mod; scanf("%d%d",&n,&mod); C[0][0]=fac[0]=fac[1]=1; for(int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod; for(int i=1; i<=n; ++i) { C[i][0]=C[i][i]=1; for(int j=1; j<i; ++j) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j], Mod(C[i][j]); } for(int i=1; i<=n; ++i) g[i]=1ll*i*(n-i)*fac[n-i-1]%mod*fac[i]%mod; LL ans=0; for(int i=2; i<=n; ++i) for(int sz=n-i+1,tmp=i*(i-1); sz; --sz) if((ans+=1ll*C[n-i][sz-1]*g[sz]%mod*tmp)>=LIM) ans%=mod; printf("%lld\n",ans%mod); return 0; }