「种树专业户」“树”业有专攻

「观感度：🌟🌟🌟🌟🌟」

「口味：蚂蚁上树」

「烹饪时间：10min」

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周树人先生曾经说过：学好树，数据结构与算法你就掌握了一半！

食堂老板(童欧巴)：就算咱们做为互联网浪潮中的叶子结点，也须要有不自量力的精神，就算不自量力是自不量力。由于就算终其一辈子只是个普通人，但你总不能为了成为一个普通人而终其一辈子吧。

今日菜谱，蚂蚁上树，下面介绍一下演员。

树的相关名词科普

• 根节点
• 叶子节点
• 父节点
• 子节点
• 兄弟节点
• 高度
• 深度
• 层

A 是 根节点。C、D、F、G 是 叶子节点。A 是 B 和 E 的 父节点。B 和 E 是 A 的 子节点。B、E 之间是 兄弟节点。高度、深度、层 如上图所示。为了方便理解记忆，高度 就是抬头看，深度 就是低头看。与 高度、深度 不一样，层 类比盗梦空间里的楼，楼都是从 1 层开始计算，盗梦空间中的楼颠倒过来，从上往下。

二叉树 Binary Tree

每一个节点最多有两个子节点，也就是 左子节点 和 右子节点。

满二叉树 Full Binary Tree

叶子节点全都在最底层，除了叶子节点以外，每一个节点都有左右两个子节点。上文中的图就是满二叉树。

彻底二叉树 Complete Binary Tree

叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，而且除了最后一层，其余层的节点个数都要达到最大。

堆其实就是一种彻底二叉树，通常采用的存储方式是数组。

采用数组存储彻底二叉树，无须像链式存储同样额外存储左右子节点的指针，能够节省内存。

二叉树的遍历

• 前序遍历：先打印当前节点，再打印当前节点的左子树，最后打印当前节点的右子树 (ABCDEFG)
• 中序遍历：先打印当前节点的左子树，再打印当前节点，最后打印当前节点的右子树 (CBDAFEG)
• 后序遍历：先打印当前节点的左子树，再打印当前节点的右子树，最后打印当前节点 (CDBFGEA)

// 前序遍历
const preorderTraversal = function(root) {  const result = [];  function pushRoot(node) {  if (node != null) {  result.push(node.val);  if (node.left != null) {  pushRoot(node.left);  }  if (node.right != null){  pushRoot(node.right);  }  }  }  pushRoot(root);  return result; }; 复制代码

// 中序遍历
const inorderTraversal = function(root) {  const result = [];  function pushRoot(node) {  if (node != null) {  if (node.left != null) {  pushRoot(node.left);  }  result.push(node.val);  if (node.right != null){  pushRoot(node.right);  }  }  }  pushRoot(root);  return result; }; 复制代码

// 后序遍历
const postorderTraversal = function(root) {  const result = [];  function pushRoot(node) {  if (node != null) {  if (node.left != null) {  pushRoot(node.left);  }  if (node.right != null){  pushRoot(node.right);  }  result.push(node.val);  }  }  pushRoot(root);  return result; }; 复制代码

复杂度分析

• 时间复杂度： O(n)
• 空间复杂度：最坏状况为 O(n)，平均状况为 O(logn)

二叉查找树 Binary Search Tree

又称二叉排序树、二叉搜索树。

中序遍历二叉查找树，能够输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，很是高效。

二叉查找树中的任意一个节点，左子树中的每一个节点的值，都小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。

在二叉查找树中，查找、插入、删除等不少操做的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端状况的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的状况和彻底二叉树的状况。

极端状况下复杂度退化并非咱们想要的，因此咱们须要设计一种平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，因此查找、插入、删除操做的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

AVL 树 Adelson-Velsky-Landis Tree

AVL 树 是最早被发明的平衡二叉查找树(以发明者的名字来进行的命名)，它定义任何节点的左右子树高度相差不超过 1，而且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

AVL 树是一种高度平衡的二叉查找树。虽然查找效率高，可是为了维持高度平衡，插入、删除操做时都须要进行调整(左旋，右旋)，须要付出很大的维持成本。

红黑树 Red-balck Tree

红黑树能够被称为“网红树”了，它的出场率相比其余的树要高出一个天际线。与 AVL 树不一样，红黑树只是作到了近似平衡，并非严格意义上的平衡。因此在维护平衡付出的成本上比 AVL 树要低，查找、插入、删除等操做的性能都比较稳定，时间复杂度都是 O(logn)。

一棵合格的红黑树应该知足：

• 每一个结点或红或黑
• 根节点是黑色
• 每一个叶子节点都是黑色的空节点(叶子节点不存储数据)
• 相邻的节点不能同时为红色，红黑相隔
• 每一个节点，从该节点到达其可达叶子节点的全部路径，都包含相同数目的黑色节点

红黑树在工程上有着大量的应用，由于工程上对性能的稳定性要求是很高的。正由于红黑树的性能比较稳定，它扛起了工程应用上的大旗。

Trie 树

Google、百度一类的搜索引擎强大的关键词提示功能的背后，最基本的原理就 Trie 树，经过空间换时间，利用字符串的公共前缀，下降查询的时间以提升效率。除此以外，还有不少应用，好比：IP 路由中使用了 Trie 树的最长前缀匹配算法，利用转发表选择路径以及 IDE 中的智能提示等。

Trie 树 是一棵非典型的多叉树模型，它和通常的多叉树不一样，咱们能够对比一下它们结点的数据结构设计。通常的多叉树结点中包含结点值和指向子结点的指针。而 Trie 树的结点中包含的是该结点是不是一个串的结束，以及字母映射表。经过字母映射表咱们能够经过一个父结点来获取它全部子结点的值。

在 Trie 树 中查找字符串的时间复杂度是 O(k)，k 是要查找的字符串长度。

上图中的 Trie 树由 5 个单词构成，分别是 color、coat、city、hi、hot。根结点的值为空。

LeetCode 208.实现 Trie 树

class Trie {
 constructor() {  this.root = {};  }  insert(word) {  let curr = this.root;  word.split('').forEach(ch => (curr = curr[ch] = curr[ch] || {}));  curr.isWord = true;  }  traverse(word) {  let curr = this.root;  for (let i = 0; i < word.length; i++) {  if (!curr) return null;  curr = curr[word[i]];  }  return curr;  }  search(word) {  let node = this.traverse(word);  return !!node && !!node.isWord;  }  startsWith(word) {  return !!this.traverse(word);  } } 复制代码

B+ 树

咱们知道，将索引存储在内容中，查询速度是比存储在磁盘中快的。可是当数据量很大的状况下，索引也随之变大。内存是有限的，咱们不得不将索引存储在磁盘中。那么，如何提高从磁盘中读取的效率就成了工程上的关键之一。

大部分关系型数据库的索引，好比 MySQL、Oracle，都是用 B+ 树来实现的。B+ 树比起红黑树更适合构建存储在磁盘中的索引。B+ 树是一个多叉树，在相同个数的数据构建索引时，其高度要低于红黑树。当借助索引查询数据的时，读取 B+ 树索引，须要更少的磁盘 IO 次数。

一个 m 阶的 B 树知足以下特征：

• 每一个节点中子节点的个数 k 知足 m > k > m/2，根节点的子节点个数能够不超过 m/2
• 经过双向链表将叶子节点串联在一块儿，方便按区间查找
• m 叉树只存储索引，并不真正存储数据
• 通常状况，根节点被存储在内存中，其余节点存储在磁盘中

参考

• 《数据结构与算法之美》 王争

往期文章

• 前端如何搞定数据结构与算法(先导篇)
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• 你真的懂递归吗？
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