「前端进阶」你真的懂递归吗？

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数据结构与算法系列文章第三弹来袭，若是没有看过前两篇的同窗们请移步下面连接。

• 前端如何搞定数据结构与算法
• JavaScript算法时间、空间复杂度分析

本文咱们来聊一聊递归，为何第三弹是递归呢？

由于不少算法思想都基于递归，不管是DFS、树的遍历、分治算法、动态规划等都是递归思想的应用。学会了用递归来解决问题的这种思惟方式，再去学习其余的算法思想，无疑是事半功倍的。

递归的本质

「迫不得已花落去，似曾相识燕归来。」

递归，去的过程叫“递” ，回来的过程叫“归”。

探究递归的本质要从计算机语言的本质提及。

计算机语言的本质是汇编语言，汇编语言的特色就是没有循环嵌套。 咱们平时使用高级语言来写的 if..else.. 也好， for/while 也好，在实际的机器指令层面来看，就是一个简单的地址跳转，跳转到特定的指令位置，相似于 goto 语句。

机器嘛，老是没有温度的。咱们再来看一个生活中的例子，你们小的时候必定用新华字典查过字。若是要查的字的解释中，也有不认识的字。那就要接着查第二个字，不幸第二个字的解释中，也有不认识的字，就要接着查第三个字。直到有一个字的解释咱们彻底能够看懂，那么递归就到了尽头。接下来咱们开始后退，逐个清楚了以前查过的每个字，最终，咱们明白了咱们要查的第一个字。

咱们再从一段代码中，体会一下递归。

const factorial = function(n) {
 if (n <= 1) {  return 1;  }  return n * factorial(n - 1); } 复制代码

factorial 是一个实现阶乘的函数。咱们以阶乘 f(6) 来看下它的递归。

f(6) = n * f(5)，因此 f(6) 须要拆解成 f(5) 子问题进行求解，以此类推 f(5) = n * f(4) ，也须要进一步拆分 ... 直到 f(1)，「这是递的过程。」 f(1) 解决后，依次能够解决f(2).... f(n)最后也被解决，「这是归的过程。」

从上面两个例子能够看出，递归无非就是把问题拆解成具备相同解决思路的子问题，直到最后被拆解的子问题不可以拆分，这个过程是“递”。当解决了最小粒度可求解的子问题后，在“归”的过程当中顺其天然的解决了最开始的问题。

搞清楚了递归的本质，在利用递归思想解题以前，咱们还要记住知足递归的三个条件：

1.问题能够被分解成几个子问题

2.问题和子问题的求解方法彻底相同

3.递归终止条件

「敲黑板，记笔记！」

LeetCode 真题

咱们拿一道 LeetCode 真题练练手。

求解斐波那契数列，该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和，也就是：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
复制代码

给定 N，计算 F(N)。

递归树如上图所示，要计算 f(5)，就要先计算子问题 f(4) 和 f(3)，要计算 f(4)，就要先计算出子问题 f(3)和 f(2)... 以此类推，当最后计算到 f(0) 或者 f(1) 的时候，结果已知，而后层层返回结果。

通过如上分析可知，知足递归的三个条件，开始撸代码。

递归解法

const fib = function(n) {
 if (n == 0 || n == 1) {  return n;  }  return fib(n - 1) + fib(n - 2); } 复制代码

或者能够这样炫技：

const fib = n => n <= 0 ? 0 : n == 1 ? 1: fib(n - 2) + fib(n - 1);
复制代码

还没完事，记住要养成习惯，必定要对本身写出的算法进行复杂度分析。这部分在专栏JavaScript算法时间、空间复杂度分析已经讲解过，没看过的同窗请点击连接移步。

复杂度分析

• 空间复杂度为 O(n)
• 时间复杂度 O(2^n)

总时间 = 子问题个数 * 解决一个子问题须要的时间

• 子问题个数即递归树中的节点总数 2^n
• 解决一个子问题须要的时间，由于只有一个加法操做 fib(n-1) + fib(n-2) ，因此解决一个子问题的时间为 O(1)

两者相乘，得出算法的时间复杂度为 O(2^n)，指数级别，裂开了呀。

面试的时候若是只写这样一种解法就 GG 了。

其实这道题咱们能够利用动态规划或是黄金分割比通项公式来求解，动态规划想要讲清楚的话篇幅较长，后续开个专栏会详细介绍，这里看不懂的同窗们不要着急。

(选择这道题的初衷是为了让你们理解递归。)

动态规划解法

递归是自顶向下(看上文递归树)，动态规划是自底向上，将递归改为迭代。为了减小空间消耗，只存储两个值，这种解法是动态规划的最优解。

• 时间复杂度 O(n)
• 空间复杂度 O(1)

const fib = function(n) {
 if (n == 0) {  return 0;  }  let a1 = 0;  let a2 = 1;  for (let i = 1; i < n; i++) {  [a1, a2] = [a2, a1 + a2];  }  return a2; } 复制代码

黄金分割比通项公式解法

• 时间复杂度 O(logn)
• 空间复杂度 O(1)

const fib = function(n) {
 return (Math.pow((1 + Math.sqrt(5))/2, n) - Math.pow((1 - Math.sqrt(5))/2, n)) / Math.sqrt(5); } 复制代码

除此以外，还能够利用矩阵方程来解题，这里再也不展开。

回到递归，在学习递归的过程当中，最大的陷阱就是人肉递归。人脑是很难把整个“递”“归”过程毫无差错的想清楚的。可是计算机刚好擅长作重复的事情，那咱们便无须跳入细节，利用数学概括法的思想，将其抽象成一个递推公式。相信它能够完成这个任务，其余的交给计算机就行了。

若是你非要探究里面的细节，挑战人脑压栈，那么你只可能会陷入其中，甚至怀疑人生。南墙很差撞，该回头就回头。

你凝望深渊的时候，深渊也在凝望你。

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