图论：Floyd-多源最短路、无向图最小环

在最短路问题中，若是咱们面对的是稠密图（十分稠密的那种，好比说全链接图），计算多源最短路的时候，Floyd算法才能充分发挥它的优点，不折不扣战胜SPFA和Dijkstra

在别的最短路问题中都不推荐使用这个算法

咱们以一道单源最短路题目介绍一下在输入数据为边表的状况下的Floyd使用状况，若是直接给了邻接矩阵的话，直接无脑求就能够了

在这里，咱们把Floyd算法的功能补全，实现了一个打印最短路径的函数并加入了求无向图的最小环的功能（通过至少两个定点，权值和最小）

看定义：

int n,m,s,mina=INF; int d[maxn][maxn],mp[maxn][maxn],p[maxn][maxn];

n个点m条边和源点s,最小环初始化为INF

而后d是最短路的答案数组，mp是初始地图数组，p是记录两个点之间的衔接点k,用来打印路径

而后是初始化：

void init() { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=mp[i][j]=INF; for(int i=1;i<=n;i++) d[i][i]=mp[i][i]=0; }

这里注意，若是给的是边表，必需要这么作，若是给的是矩阵，能够直接忽略这个函数了

而后是Floyd算法：

void floyd() { for(int k=1;k<=n;k++) { for(int i=1;i<k;i++) for(int j=i+1;j<k;j++) mina=min(d[i][j]+mp[j][k]+mp[k][i],mina); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(d[i][k]<INF&&d[k][j]<INF) d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]),p[i][j]=k; } }

若是单纯忽略mina的求解过程，这就是一个裸的，Floyd

咱们再看一下路径是怎么打印的，其实很显然：

void output(int i,int j) { if(i==j) return; if(p[i][j]==0) printf("%d ",j); else{output(i,p[i][j]);output(p[i][j],j);} }

递归的思路仍是很明显的

咱们给出完整的实现：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;  5 const int maxn=1005;  6 const int maxm=2005;  7 const int INF=0x7fffffff;  8 int n,m,s,mina=INF;  9 int d[maxn][maxn],mp[maxn][maxn],p[maxn][maxn]; 10 void init() 11 { 12     for(int i=1;i<=n;i++) 13     for(int j=1;j<=n;j++) 14         d[i][j]=mp[i][j]=INF; 15     for(int i=1;i<=n;i++) d[i][i]=mp[i][i]=0; 16 } 17 void floyd() 18 { 19     for(int k=1;k<=n;k++) 20  { 21         for(int i=1;i<k;i++) 22         for(int j=i+1;j<k;j++) 23             mina=min(d[i][j]+mp[j][k]+mp[k][i],mina); 24              
25         for(int i=1;i<=n;i++) 26         for(int j=1;j<=n;j++) 27         if(d[i][k]<INF&&d[k][j]<INF) 28             d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]),p[i][j]=k; 29  } 30 } 31 void output(int i,int j) 32 { 33     if(i==j) return; 34     if(p[i][j]==0) printf("%d ",j); 35     else{output(i,p[i][j]);output(p[i][j],j);} 36 } 37 int main() 38 { 39     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); 40     int x,y,z; 41  init(); 42     for(int i=1;i<=m;i++) {scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);mp[x][y]=d[x][y]=min(z,d[x][y]);} 43  floyd(); 44     for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",d[s][i]); 45     return 0; 46 }

请注意，请注意，请注意

在不保证没有重边的状况下，必定要有

mp[x][y]=d[x][y]=min(z,d[x][y]);

不然凉凉