图论之最短路径floyd算法

Floyd算法是图论中经典的多源最短路径算法，即求任意两点之间的最短路径。 

它可采用动态规划思想，由于它知足最优子结构性质，即最短路径序列的子序列也是最短路径。

 

 

举例说明最优子结构性质，上图中1号到5号的最短路径序列<1,2,4,5>，其子序列<1,2,4>也是最短路径。

在动态规划算法中，处于首要位置、且也是核心理念之一的就是状态的定义。

动态转移的基本思想能够认为是创建起某一状态和以前状态的一种转移表示。

d[k][i][j]定义为“只能使用第1号到第k号点做为中间媒介时，点i到点j之间的最短路径长度”。

按照前面的定义，d[k][i][j]是一种使用1号到k号点的状态，能够想办法把这个状态经过动态转移，规约到使用1号到(k-1)号的状态，即d[k-1][i][j]。

对于d[k][i][j]（即便用1号到k号点中的全部点做为中间媒介时，i和j之间的最短路径），能够分为两种状况：

（I）i到j的最短路不通过k；

（II）i到j的最短路通过了k。

不通过点k的最短路状况下，d[k][i][j]=d[k-1][i][j]。

通过点k的最短路状况下，d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]。

所以，综合上述两种状况，即可以获得Floyd算法的动态转移方程：

d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])（k,i,j∈[1,n]）

在这里，须要注意上述动态转移方程的初始（边界）条件，即d[0][i][j]=w(i, j)，

也就是说在不使用任何点的状况下（“松弛操做”的最初），两点之间最短路径的长度就是两点之间边的权值。

方法：“松弛”点，“五行代码”经过n-1次松弛节点

参考资料：https://www.cnblogs.com/chenying99/p/3932877.html