【译】Swift算法俱乐部-最大公约数算法

本文是对 Swift Algorithm Club 翻译的一篇文章。
Swift Algorithm Club是 raywenderlich.com网站出品的用Swift实现算法和数据结构的开源项目，目前在GitHub上有18000+⭐️，我初略统计了一下，大概有一百左右个的算法和数据结构，基本上常见的都包含了，是iOSer学习算法和数据结构不错的资源。
🐙andyRon/swift-algorithm-club-cn是我对Swift Algorithm Club，边学习边翻译的项目。因为能力有限，如发现错误或翻译不妥，请指正，欢迎pull request。也欢迎有兴趣、有时间的小伙伴一块儿参与翻译和学习🤓。固然也欢迎加⭐️，🤩🤩🤩🤨🤪。
本文的翻译原文和代码能够查看🐙swift-algorithm-club-cn/Greatest Common Divisor

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最大公约数算法（Greatest Common Divisor）

两个数字a和b的 最大公约数（或最大公因数）是将a和b整除都没有余数的最大正整数。

例如，gcd(39, 52) = 13，由于13除以39(39/13 = 3)以及52(52/13 = 4)，并且没有比13更大的数字。

在某些时候你可能不得不在学校里了解这一点。:-)

找到两个数字的GCD的费力方法是先找出两个数字的因子，而后取其共同的最大数。 问题在于分解数字是很是困难的，特别是当它们变大时。 （从好的方面来讲，这种困难也是保证您的在线支付安全的缘由。）

有一种更聪明的方法来计算GCD：欧几里德的算法。 这个算法主要观点是，

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
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其中a％b是a除以b的余数。

如下是Swift中这个想法的实现：

func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
  let r = a % b
  if r != 0 {
    return gcd(b, r)
  } else {
    return b
  }
}
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在 playground 上，试试一些例子：

gcd(52, 39)        // 13
gcd(228, 36)       // 12
gcd(51357, 3819)   // 57
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让咱们分步完成第三个例子：

gcd(51357, 3819)
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根据欧几里德的规则，这至关于，

gcd(3819, 51357 % 3819) = gcd(3819, 1710)
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由于51357 ％ 3819的余数是1710。 详细计算为51357 = (13 * 3819) + 1710，但咱们只关心余数部分。

因此gcd(51357, 3819)与gcd(3819, 1710)相同。 这颇有用，由于咱们能够继续简化：

gcd(3819, 1710) = gcd(1710, 3819 % 1710) = 
gcd(1710, 399)  = gcd(399, 1710 % 399)   = 
gcd(399, 114)   = gcd(114, 399 % 114)    = 
gcd(114, 57)    = gcd(57, 114 % 57)      = 
gcd(57, 0)
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如今不能再进一步划分了。 114 / 57的余数为零，由于114 = 57 * 2。 这意味着咱们找到了答案：

gcd(3819, 51357) = gcd(57, 0) = 57
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所以，在欧几里德算法的每一个步骤中，数字变得更小，而且在某个点上，当它们中的一个变为零时它结束。

顺便说一下，两个数字的GCD也可能为1.它们被认为是 互素（译注：也叫互质）。 当没有数字将它们整除时会发生这种状况，例如：

gcd(841, 299)     // 1
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下面是欧几里德算法略微不一样的一种实现。 与第一个版本不一样，它不使用递归，而只使用基本的while循环。

func gcd(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
  var a = 0
  var b = max(m, n)
  var r = min(m, n)

  while r != 0 {
    a = b
    b = r
    r = a % b
  }
  return b
}
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函数顶部的 max() 和 min() 确保咱们老是用较大的数字除以较小的数字。

最小公倍数

与GCD相关的想法是 最小公倍数 或叫作LCM。

两个数字a和b的最小公倍数是二者的倍数中最小的正整数。 换句话说，LCM能够被a和b整除。

例如：lcm(2, 3) = 6，由于6能够被2整除，也能够被3整除。

咱们也可使用欧几里德算法计算LCM：

a * b
lcm(a, b) = ---------
            gcd(a, b)
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代码：

func lcm(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
  return m / gcd(m, n) * n
}
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在playground中测试：

lcm(10, 8)    // 40
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您可能不须要在任何实际问题中使用GCD或LCM，可是使用这种古老的算法很酷。 它首先由欧几里德在公元前300年左右他的书籍元素中描述。 有传言说他在攻击他的Commodore 64时，发现了这个算法。

做者：Matthijs Hollemans
翻译：Andy Ron
校对：Andy Ron