用构造无风险组合的方式推导订价 PDE

目录

• 用构造无风险组合的方式推导订价 PDE
  • BS 模型
  • 零息债券的单因子模型
    • $\Lambda$ 究竟是什么？
  • Heston 模型
    • $\Lambda$ 究竟是什么？
  • 总结

用构造无风险组合的方式推导订价 PDE

推导订价金融工具的 PDE 是个常考科目，本文记述了一个直观但不严谨的通用方法——构造无风险组合，并展现了 BS 模型、Heston 模型和零息债券单因子模型三个案例。

BS 模型

从最简单的童话故事开始。

股价 \(S_t\) 的 SDE 以下：

\[dS_t = (\mu - q)S_t dt + \sigma S_t dB_t \]

用 \(S_t\) 和欧式期权 \(E(t,S_t)\) 构造一个组合 \(V\)，连续动态调整 \(S\) 和 \(E\) 的比例使得 \(V\) 是一个无风险组合。因为期权和股票都只在一个随机变量 \(B_t\) 上有敞口，而且股票是可直接交易的对象，所以无需引入其余的交易标的就能够实现彻底对重，进而构造出无风险组合。这一点和后面的两个例子不一样。

\(w_1\) 和 \(w_2\) 分别是 \(S\) 和 \(E\) 的市值占比，那么 \(V\) 的“瞬时”收益率能够表示为：

\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE}{E} +w_1 q dt \tag{1} \]

由 Ito 公式可知，

\[\begin{align*} & w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE}{E} \\ & = w_1 \left((\mu-q)dt + \sigma dB_t \right) + w_2 \frac{1}{E}\left( \frac{\partial E}{\partial t}dt + \frac{\partial E}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}d[S_t] \right)\\ & = w_1 \left((\mu-q)dt + \sigma dB_t \right) + w_2 \frac{1}{E}\left( \frac{\partial E}{\partial t}dt + \frac{\partial E}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sigma S dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\sigma^2S^2 dt \right) \end{align*} \]

\(V\) 是无风险组合的话

\[\frac{dV}{V} = r dt \tag{2} \]

为了消除 \(V\) 的随机性，也就是说消除掉 \(dB_t\)，\(w_1\) 和 \(w_2\) 要知足一个方程组：

\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 &= 1\\ w_1 + \frac{S}{E} \frac{\partial E}{\partial B} w_2 &= 0 \end{matrix}\right. \]

方程组的解是

\[w_1 = \frac{-\frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}{1 - \frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}\\ w_2 = \frac{1}{1 - \frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}} \]

丢进（1），同时注意到（2），稍加整理将获得 PDE（略过边界条件）：

\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\sigma^2S^2 + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) - Er=0 \]

零息债券的单因子模型

债券的语境下就是另外一个故事了。

短时间利率过程 \(r_t\) 的 SDE 以下：

\[dr_t = \mu(r,t) dt + \sigma(r,t) dB_t \]

和期权的状况不一样，因为短时间利率不是一个能够直接交易的对象，所以，要构造无风险组合能够考虑用两个期限不一样的债券对冲掉彼此的随机性敞口。

\(w_1\) 和 \(w_2\) 分别是 \(P(t, T_1)\) 和 \(P(t, T_2)\) 的市值占比（\(T_2 \neq T_1\)），那么 \(V\) 的“瞬时”收益率能够表示为：

\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dP_1}{P_1} + w_2 \frac{dP_2}{P_2} \tag{3} \]

由 Ito 公式可知，

\[\begin{align*} & w_1 \frac{dP_1}{P_1} + w_2 \frac{dP_2}{P_2} \\ & = w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t}dt + \frac{\partial P_1}{\partial r}dr_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}d[r_t] \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t}dt + \frac{\partial P_2}{\partial r}dr_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}d[r_t] \right)\\ & = w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t}dt + \frac{\partial P_1}{\partial r}(\mu dt + \sigma dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 dt \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t}dt + \frac{\partial P_2}{\partial r}(\mu dt + \sigma dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 dt \right) \end{align*} \]

为了消除 \(V\) 的随机性，\(w_1\) 和 \(w_2\) 要知足一个方程组，

\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 &= 1\\ \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r} w_1 + \frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} w_2 &= 0 \end{matrix}\right. \]

方程组的解是

\[w_1 = \frac{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r}}{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} - \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}\\ w_2 = \frac{-\frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} - \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}} \]

丢进（3），同时注意到（2）将获得

\[w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 \right) = r_t \]

稍加整理获得

\[\frac{\frac{\partial P_1}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 - rP_1}{\frac{\partial P_1}{\partial r}} = \frac{\frac{\partial P_2}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 - rP_2}{\frac{\partial P_2}{\partial r}} \]

也就是说

\[\frac{\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 - rP}{\frac{\partial P}{\partial r}} \tag{4} \]

与债券的期限无关，能够记为一个 \(t\) 和 \(r\) 的函数 \(\Lambda(t,r)\)，进而获得 PDE（略过边界条件）：

\[\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 - Pr - \frac{\partial P}{\partial r}\Lambda = 0 \]

\(\Lambda\) 究竟是什么？

仍是 Ito 公式，

\[\frac{dP}{P} = \frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial r}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2) dt + \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r}\sigma dB_t \]

能够看到，债券瞬时回报分解成为了肯定性和随机性的两部分，套用业绩归因的 Sharp 比的概念，若是把债券的 Sharp 比（并非真正意义上的 Sharp 比，而是一种类比）表示为：

\[\lambda(t,r) = \frac{\frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial r}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2) - r}{\frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r}\sigma} \]

它能够看作是在度量短时间利率敞口的风险溢价水平。对比一下（4）就能够获得

\[\Lambda = \sigma \lambda - \mu \]

最终，零息债券的 PDE 写成：

\[\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 + \frac{\partial P}{\partial r}(\mu - \sigma \lambda) - Pr = 0 \]

Heston 模型

Heston 模型的故事又深邃了一点，实际上是前述两个案例的综合。

\[dS_t = (\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t\\ dv_t = \kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t \]

在 Heston 模型中欧式期权 \(E(t,S_t,v_t)\) 对 \(B^1\) 和 \(B^2\) 都有敞口，可是 \(S_t\) 只对 \(B^1\) 有直接的敞口，所以单纯 \(E\) 和 \(S\) 的组合没法彻底对冲掉随机性敞口。此外，和短时间利率类似，随机波动率也是没法直接交易的，能够考虑引入另外一个不一样期限的期权来对冲掉对 \(B^2\) 的敞口。

\(w_1\)、\(w_2\) 和 \(w_3\) 分别是 \(S\)、\(E_1(T_1)\) 和 \(E_2(T_2)\) 的市值占比（\(T_2 \neq T_1\)），那么

\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE_1}{E_1} + w_3 \frac{dE_2}{E_2} + w_1 q dt \tag{5} \]

由 Ito 公式可知，

\[\begin{align*} & w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE_1}{E_1} + w_3 \frac{dE_2}{E_2} \\ & = w_1 \left( (\mu - q) dt + \sqrt{v_t} dB^1_t \right)\\ & + w_2 \frac{1}{E_1}\left( \frac{\partial E_1}{\partial t}dt + \frac{\partial E_1}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial S^2}d[S_t] + \frac{\partial E_1}{\partial v}dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial v^2}d[v_t] + \frac{\partial^2 E_1}{\partial S \partial v}d[S_t, v_t] \right)\\ & + w_3 \frac{1}{E_2}\left( \frac{\partial E_2}{\partial t}dt + \frac{\partial E_2}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial S^2}d[S_t] + \frac{\partial E_2}{\partial v}dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial v^2}d[v_t] + \frac{\partial^2 E_2}{\partial S \partial v}d[S_t, v_t] \right)\\ & = w_1 \left( (\mu - q) dt + \sqrt{v_t} dB^1_t \right)\\ & + w_2 \frac{1}{E_1}\left( \frac{\partial E_1}{\partial t}dt + \frac{\partial E_1}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial S^2}vdt + \frac{\partial E_1}{\partial v}(\kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial v^2}\sigma^2vdt + \frac{\partial^2 E_1}{\partial S \partial v}\rho \sigma Sv dt \right)\\ & + w_3 \frac{1}{E_2}\left( \frac{\partial E_2}{\partial t}dt + \frac{\partial E_2}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial S^2}vdt + \frac{\partial E_2}{\partial v}(\kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial v^2}\sigma^2vdt + \frac{\partial^2 E_2}{\partial S \partial v}\rho \sigma Sv dt \right)\\ & = w_1(x_1dt + y_1dB^1_t) \\ & + w_2(x_2dt + y_2dB^1_t + z_2dB^2_t) \\ & + w_3(x_3dt + y_3dB^1_t + z_3dB^2_t) \end{align*} \]

为了消除 \(V\) 的随机性，\(w_1\)、\(w_2\) 和 \(w_3\) 要知足一个方程组，

\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 + w_3 &= 1\\ y_1w_1 + y_2w_2 + y_3w_3 &= 0\\ z_2w_2 + z_3w_3 &= 0\\ \end{matrix}\right. \]

方程组的解是

\[w_1 = \frac{z_2y_3 - z_3y_2}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\\ w_2 = \frac{y_1z_3}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\\ w_3 = \frac{-y_1z_2}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)} \]

丢进（5），同时注意到（2），那么

\[w_1(x_1+q) + w_2x_2 + w_3x_3 = r \]

稍加整理将获得

\[\frac{(x_1-r+q)y_2 - (x_2-r)y_1}{z_2} = \frac{(x_1-r+q)y_3 - (x_3-r)y_1}{z_3} \]

也就是说

\[\frac{(x_1-r+q)y - (x-r)y_1}{z} \]

与期权期限无关，仅仅是 \(t\)，\(S\) 和 \(v\) 的函数，能够记作 \(\Lambda(t,S,v)\)，进而获得 PDE：

\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}S^2v + \frac{\partial E}{\partial v}[\kappa(\theta - v) + \sigma\Lambda] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}\sigma^2v + \frac{\partial^2 E}{\partial S \partial v}\rho\sigma Sv - Er = 0 \]

\(\Lambda\) 究竟是什么？

注意到

\[\frac{(x_1-r+q)y - (x-r)y_1}{z} \\= -\frac{yy_1}{z}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \\= -\frac{S\sqrt{v}}{\sigma}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \]

记

\[\lambda = S\sqrt{v}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \]

它能够看作期权和股票 Sharp 比（并不是真正意义的 Sharp 比，而是一个类比）的差，再乘以股票价格瞬时变化的标准差。若是把期权看做是交易随机波动率的工具，而股票仅是随机波动率的被动承担者，那么

\[\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1} \]

能够看作是在衡量随机波动率敞口的风险溢价水平，由于期权在两个敞口上均有暴露，股票只有一个敞口，二者相减便剩余随机波动率敞口。

最终，PDE 变成：

\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}S^2v + \frac{\partial E}{\partial v}[\kappa(\theta - v) - \lambda] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}\sigma^2v + \frac{\partial^2 E}{\partial S \partial v}\rho\sigma Sv - Er = 0 \]

总结

严格的来讲，上述推导均不严谨。

以 \(\frac{1}{V}dV\) 为例，这是一种不规范的写法，SDE 虽然名字中带有微分，可是规范的写法实际上是一组积分表达式，\(dS\) 仅仅是一种“缩写”。正是由于不规范的写法，\(\frac{1}{V}dV\) 不能再写成 \(d\ln V\)。这是在随机性世界，和肯定性世界有不同的物理规则。

尽管数学表述不规范，但背后的经济意义却很是明了。

若是把微分视做差分的极限，\(\frac{1}{V}dV\) 能够看作是瞬时收益率，也就是算数收益率的极限形式的。合约以及资产价值有各自的随机驱动因子（也就是敞口），消除掉组合的随机性，也就实现了完美意义上的对冲。