拓扑排序（topsort）算法详解

　　在图论中，由某个集合上的偏序获得全序的策略就是拓补排序算法。拓扑排序常出如今涉及偏序关系的问题中，例如时序的前后、事物的依赖等。针对这些问题拓扑排序一般能有效地给出可行解。

　　为了便于理解，咱们先来看一个实例，开源软件常使用GNU make工具来管理项目的构建，这里的“项目”是由若干个“对象”构成的。Makefile文件则描述了这些“对象”的构建规则，即给出一系列对象间的依赖关系。若对象A依赖于对象B，则说明对象B必须先于对象A构建，不然构建将没法进行。make的任务就是合理安排各个对象构建的前后顺序，使得过程能顺利地完成。

　　做为例子，一个Makefile文件的内容以下：每行描述一个规则。例如第一行指明对象foo.o和bar.o必须先于target构建。

target: foo.o bar.o

foo.o: foo.c foo.h
bar.o: bar.c bar.h

　　咱们先对问题进行数学转化。离散数学为咱们描述对象间的关系提供了有力工具——偏序。令X为全部要研究的对象的集合。集合X上的一个关系R是偏序，当且仅当R知足自反性、对称性、传递性。

　　定义以下关系：xRy：x必须先于y被构建，即y依赖x，由于R知足偏序的性质，xRy也记为x≼y。到此咱们成功地对问题进行了建模。接下来使用DAG来表示每一个对象间的关系，图的每个顶点表示一个对象、有向线段表示关系 _起点≼_终点。

　　　　　　　　　　　　　　（图一）

　　如何合理布局各个对象的构建顺序，使得构建过程能够顺利地进行下去呢？假设咱们根本不知道拓扑排序，直观的想法是：先选择不被其它对象依赖的做为第1个对象；再考虑第2个对象，它除了已选的第1个对象外，不该该被其它对象依赖；选择第n个对象，它除了前面已选的第1~n-1对象外，不能再被其它对象依赖。按照这个规则依次选出对象，便可保证构建过程顺利结束。

　　能够证实这种直观想法是正确的。这种策略的结果用下图描述，可是，这并非真正的拓扑排序：

　　　　　　　　　　　　　　（图二）

　　问题在于，获得的图并无反映排序后各对象间的关系，充其量不过把图从新摆了一个形态，而图所描述的关系并无本质的改变。如何解决这一问题？这就要引入全序。从图中直观地看出，只有部分对象之间具备偏序关系，做为反例，bar.h与bar.c之间无偏序关系，所以R不是集合X上的全序关系。试想在图中，若是为每一对不能比较的对象<u,v>，强制添加一个关系u≼v，使得集合X中每两个对象都能创建关系，则R就成为了X上的全序关系，如图三所示。

　　　　　　　　　　　　　　（图三）

　　按照Hass图的顺序排列各个顶点获得图三，咱们发现从最底部顶点bar.c出发，总有一条路径能走完全部顶点并到达最顶部顶点target，所以咱们获得的结果拓扑有序。线性排列全部顶点，以下图所示：

　　这个结果即是原问题的拓扑排序。由于添加关系u≼v的方法不惟一，因此拓扑排序不是惟一的。但不管哪一种状况，拓扑排序都知足一个关键的性质：没有一个节点指向它前面的节点，形式化地描述：对于图中的任意两个结点u和v，若存在一条有向边<u,v>，则在拓扑排序中u必定出如今v前面。这条性质描述了拓扑排序的本质，为咱们编写可行的算法提供了依据。

　　另一些须要知道的定理是，有向图拓扑排序存在的充分必要条件是图为DAG（有向无环图），这个结论用于判断问题是否有解，也可用于判断一个有向图是否有环。

 

　　算法的求解过程以下：首先统计全部顶点的入度。而后：

a.	寻找全部入度为0的顶点，追加到结果序列末尾并将其从图中移除，同时将其全部邻接顶点的入度减一。
b.	重复a，直到全部顶点都从图中移除。

　　算法结束时，所得结果序列即是最终答案。
　　对于任意一个可能带环的有向图，在寻找入度为0的顶点时，若是找不到，说明图的拓扑排序是不存在的，即问题无解。

 

　　上述的“移除”是逻辑层面的概念，具体实现中，咱们不须要真正地将顶点从图中移除，由于某次a.中找到的入度为0的顶点只可能出如今上一次a.中入度被减一的顶点中。当a找到入度为0的顶点时，就会把它的邻接顶点的入度减一，这时即可以顺便统计入度减为0的顶点，下次a直接从这些入度为0的顶点开始，无需再从整个图中寻找入度为0的顶点。

　

　　最后经过一道UVa的题目来讲明算法的具体实现：

UVa10305（Ordering Tasks）

题目大意

　　给出一堆任务，其中一个任务必须在它依赖的全部任务都完成后才能执行。已知任务之间的关系，求可能的执行顺序。

分析

　　思路与make的例子一致。这里使用vector存储邻接表，数组deg_in维护每一个顶点的入度，队列que维护每趟中入度被减为0的顶点。

参考代码

#include <iostream>
#include <queue>
#define N 100+2

using namespace std;

static vector<int> con[N];
static int deg_in[N];

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    int n,m;
    while((cin >> n >> m) && n) {
        for(int i=1;i<=n;++i) {
            con[i].clear();
            deg_in[i] = 0;
        }
        
        for(int i=0; i<m; ++i) {
            int a,j;
            cin >> a >> j;
            con[a].push_back(j);
            ++deg_in[j];
        }
        
        //
        // 找出第一个度为0的顶点
        //
        queue<int> que;
        vector<int> ans;
        for(int i=1; i<=n; ++i) {
            if (!deg_in[i]) {
                que.push(i);
            }
        }
        
        //
        // 求排序中其它n-1个顶点
        //
        while(!que.empty()) {
            int u = que.front();
            que.pop();
            
            ans.push_back(u);
            
            for(size_t i=0; i<con[u].size(); ++i) {
                int t = con[u][i];
                if (--deg_in[t] == 0) {
                    que.push(t);
                }
            }
        }
        
        for(size_t i=0; i<ans.size(); ++i) {
            cout << ans[i] << (i==ans.size()-1 ? "" : " ");
        }
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}