高斯分布-笔记(1)

1 -单变量高斯分布

单变量高斯分布几率密度函数定义为：
\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp\{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\} \tag{1.1}\]
式中\(\mu\)为随机变量\(x\)的指望，\(\sigma^2\)为\(x\)的方差，\(\sigma\)称为标准差：
\[\mu=E(x)=\int_{-\infty}^\infty xp(x)dx \tag{1.2}\]
\[\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2p(x)dx \tag{1.3}\]
能够看出，该几率分布函数，由指望和方差就能彻底肯定。高斯分布的样本主要都集中在均值附近，且分散程度能够经过标准差来表示，其越大，分散程度也越大，且约有95%的样本落在区间\((\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)\)

2 - 多元高斯分布

多元高斯分布的几率密度函数。多元高斯分布的几率密度函数定义：
\[p({\bf x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^\frac{1}{2}}exp\{-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\} \tag{2.1}\]
其中\({\bf x}=[x_1,x_2,...,x_d]^T\)是\(d\)维的列向量；
\({\bf \mu}=[\mu_1,\mu_2,...,\mu_d]^T\)是\(d\)维均值的列向量；
\(\Sigma\)是\(d\times d\)维的协方差矩阵；
\({\Sigma}^{-1}\)是\(\Sigma\)的逆矩阵;
\(|\Sigma|\)是\(\Sigma\)的行列式；
\((\bf x-\mu)^T\)是\((\bf x-\mu)\)的转置，且
\[\mu=E(\bf x) \tag{2.2}\]
\[\Sigma=E\{(\bf x-\bf \mu)(\bf x - \mu)^T\}\tag{2.3}\]
其中\(\mu,\Sigma\)分别是向量\(\bf x\)和矩阵\((\bf x -\mu)(\bf x -\mu)^T\)的指望，诺\(x_i\)是\(\bf x\)的第\(i\)个份量，\(\mu_i\)是\(\mu\)的第\(i\)个份量，\(\sigma_{ij}^2\)是\(\sum\)的第\(i,j\)个元素。则:
\[\mu_i=E(x_i)=\int_{-\infty}^\infty x_ip(x_i)dx_i \tag{2.4}\]
其中\(p(x_i)\)为边缘分布：
\[p(x_i)=\int_{-\infty}^\infty\cdot\cdot\cdot\int_{-\infty}^\infty p({\bf x})dx_1dx_2 \cdot\cdot\cdot dx_d \tag{2.5}\]
而
\[\begin{eqnarray}\sigma_{ij}^2 &=&E[(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)]\\ &=&\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)p(x_i,x_j)dx_idx_j \end{eqnarray} \tag{2.6}\]
不难证实，协方差矩阵老是对称非负定矩阵，且可表示为：
\[\Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_{11}^2 & \sigma_{12}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{1d}^2 \\ \sigma_{12}^2 & \sigma_{22}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{2d}^2\\ \cdot\cdot\cdot &\cdot\cdot\cdot\\ \sigma_{1d}^2 & \sigma_{2d}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{dd}^2 \end{bmatrix}\]
对角线上的元素\(\sigma_{ii}^2\)为\(x_i\)的方差，非对角线上的元素\(\sigma_{ij}^2\)为\(x_i\)和\(x_j\)的协方差。
由上面能够看出，均值向量\(\mu\)有\(d\)个参数，协方差矩阵\(\sum\)由于对称，因此有\(d(d+1)/2\)个参数，因此多元高斯分布一共由\(d+d(d+1)/2\)个参数决定。
从多元高斯分布中抽取的样本大部分落在由\(\mu\)和\(\Sigma\)所肯定的一个区域里，该区域的中心由向量\(\mu\)决定，区域大小由协方差矩阵\(\Sigma\)决定。且从式子（2.1）能够看出，当指数项为常数时，密度\(p(\bf x)\)值不变，所以等密度点是使指数项为常数的点，即知足:
\[({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})=常数 \tag{2.7}\]
上式的解是一个超椭圆面，且其主轴方向由\(\sum\)的特征向量所决定，主轴的长度与相应的协方差矩阵\(\Sigma\)的特征值成正比。
在数理统计中，式子（2.7）所表示的数量：
\[\gamma^2=({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x}-\mu)\]
称为\(\bf x\)到\(\mu\)的Mahalanobis距离的平方。因此等密度点轨迹是\(\bf x\)到\(\mu\)的Mahalanobis距离为常数的超椭球面。这个超椭球体大小是样本对于均值向量的离散度度量。对应的M式距离为\(\gamma\)的超椭球体积为：
\[V=V_d|\Sigma|^{\frac{1}{2}}\gamma^d\]
其中\(V_d\)是d维单位超球体的体积：
\[V_d=\begin{cases}\frac{\pi^{\frac{d}{2}}}{(\frac{d}{2})!},&d 为偶数\\ \frac{2^d\pi^{(\frac{d-1}{2})}(\frac{d-1}{2})!}{d!},d为奇数 \end{cases}\]

若是多元高斯随机向量\(\bf x\)的协方差矩阵是对角矩阵，则\(\bf x\)的份量是相互独立的高斯分布随机变量。

2.1 - 多变量高斯分布中马氏距离的2维表示

上面式2.7是样本点\(\bf x\)与均值向量\(\bf \mu\)之间的马氏距离。咱们首先对\(\Sigma\)进行特征分解，即\(\Sigma=\bf U\Lambda U^T\),这里\(\bf U\)是一个正交矩阵，且\(\bf U^TU=I\)，\(\bf\Lambda\)是特征值的对角矩阵。且：
\[{\bf\Sigma}^{-1}={\bf U^{-T}\Lambda^{-1}U^{-1}}={\bf U\Lambda^{-1}U^T}=\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T\]
这里\({\bf u}_i\)是\(\bf U\)的第\(i\)列，包含了第\(i\)个特征向量。所以能够重写成：
\[\begin{eqnarray}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu}) &=&({\bf x-\mu})^T\left(\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T\right)({\bf x-\mu})\\ &=&\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}({\bf x-\mu})^T{\bf u}_i{\bf u}_i^T({\bf x-\mu})\\ &=&\sum_{i=1}^d\frac{y_i^2}{\lambda_i} \end{eqnarray}\]
这里\(y_i={\bf u}_i^T(\bf x-\mu)\),能够看出，当只选择两个维度时，便可获得椭圆公式 :
\[\frac{y_1^2}{\lambda_1}+\frac{y_2^2}{\lambda_2}=1\]
其中该椭圆的长轴与短轴的方向由特征向量而定，轴的长短由特征值大小而定。
ps：因此得出结论，马氏距离就是欧式距离先经过\(\bf \mu\)中心化，而后基于\(\bf U\)旋转获得的。

2.2多变量高斯分布的最大似然估计

假设有\(N\)个iid的高斯分布的样本即${\bf x}_i \(~\) \cal N(\bf \mu,\Sigma)$，则该分布的指望和方差（这里是协方差）：
\[\hat\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i=\overline{\bf x}\tag{2.2.1}\]
\[\begin{eqnarray}\hat{\Sigma} &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\overline x})({\bf x}_i-{\bf\overline x})^T\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T-{\bf x}_i{\bf \overline x}^T-{\bf \overline x}{\bf x}_i^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\right)\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-2{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T \end{eqnarray}\tag{2.2.2}\]
为了求得他们的最大似然估计，须要预先知道以下知识：

图2.2.1 书mlapp上公式4.10
\[{\bf x^TAx}=tr({\bf x^TAx})=tr({\bf xx^TA})=tr({\bf Axx^T})\tag{2.2.3}\]
由于多元高斯分布可写成:
\[p(d|\mu,\Sigma)= \frac{1}{{2\pi}^{d/2}}*|\Sigma^{-1}|^{1/2}*\exp\left[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\right]\tag{2.2.4}\]

\[\begin{eqnarray} \scr L({\bf \mu},\Sigma) &=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\ &=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu}) \end{eqnarray}\tag{2.2.5}\]
这里\(\bf \Lambda=\Sigma^{-1}\)是协方差矩阵的逆矩阵，也就是精度矩阵。
并假设\({\bf y}_i={\bf x}_i-\mu\)，采用链式求导法则,且按照图2.2.1第二个公式，得：
\[\begin{eqnarray} \frac{d}{d\mu}\left(\frac{1}{2}({{\bf x}_i-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({{\bf x}_i-\mu})\right) &=&\frac{d}{d{\bf y}_i}\left({\bf y}_i^T\Sigma^{-1}{\bf y}_i\right)\frac{d{\bf y}_i}{d\mu}\\ &=&(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i(-1)\\ &=&-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i \end{eqnarray}\]
且\(\Sigma\)是对称矩阵，因此：
\[\begin{eqnarray} \frac{d}{d\mu}{\scr L}(\mu,\Sigma) &=&0+\frac{d}{d\mu}\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu})\right)\\ &=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left(-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i\right)\\ &=&\sum_{i=1}^N\Sigma^{-1}{\bf y}_i\\ &=&\Sigma^{-1}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-\mu)=0 \end{eqnarray}\]
从而，多元高斯分布的指望为：\(\hat \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i\)

由于

\(\bf A_1B+A_2B=(A_1+A_2)B\)
\(tr({\bf A})+tr({\bf B})=tr(\bf A+B)\)
因此
\(tr({\bf A_1 B})+tr({\bf A_2 B})=tr[(\bf A_1+A_2)B]\)
经过公式2.2.3，且假定 \({\bf S}_\mu=\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T\)可知公式2.2.5可表示成：
\[\begin{eqnarray} \scr L({\bf \mu},\Sigma) &=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\ &=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Ntr[({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}]\\ &=&\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}tr({\bf S_\mu}{\bf \Lambda}) \end{eqnarray}\tag{2.2.5}\]
因此：
\[\frac{d\scr L(\mu,\Sigma)}{d{\bf \Lambda}}=\frac{N}{2}{\bf \Lambda^{-T}}-\frac{1}{2}{\bf S}_\mu^T=0\]
\[{\bf \Lambda^{-T}}={\bf \Lambda^{-1}}=\Sigma=\frac{1}{N}{\bf S}_\mu\]
最后获得了 多元高斯分布协方差的指望值为:
\(\hat{\Sigma} =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\mu})({\bf x}_i-{\bf\mu})^T\)

2.3 基于多元变量高斯分布的分类方法

1 - 各个类别的协方差都相等\(\Sigma_{c_k}=\Sigma\):
而且能够直观的知道：
\[p(X={\bf x}|Y=c_k,{\bf \theta}) = {\cal N}({\bf x|\mu}_{c_k},\Sigma_{c_k}）\tag{3.1}\]
ps：基于第\(k\)类基础上关于变量\(\bf x\)的几率，就是先挑选出全部\(k\)类的样本，而后再计算其多元高斯几率。且若是\(\Sigma_{c_k}\)是对角矩阵(即不一样特征之间相互独立)，则其就等于朴素贝叶斯。

且可知对于多分类问题，给定一个测试样本其特征向量，预测结果为选取几率最大的那个类别：
\[\begin{eqnarray}\hat y({\bf x}) &=&arg\max_{c_k}P(Y={c_k}|X={\bf x})\\ &=&arg\max_{c_k}\frac{P(Y={c_k},X={\bf x})}{P(X={\bf x})} \end{eqnarray}\tag{3.2}\]
由于对于每一个类别计算当前测试样本几率时，分母都是相同的，故省略，比较分子大的就行，也就是联合几率大的那个，从而式子3.2等价于：
\[\hat y({\bf x})=arg\max_{c_k}P(X={\bf x}|Y={c_k})P(Y={c_k})\]
而所谓LDA，就是当每一个类别的协方差都相等，即\(\Sigma_{c_k}=\Sigma\),因此:
\(P(X={\bf x}|Y={c_k})=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\)
\(P(Y={c_k})=\pi_{c_k}\)
从而，可发现：
\[\begin{eqnarray}P(Y={c_k}|X={\bf x}) \quad &正比于& \pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\\ &=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\ &=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\ &=&exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]\\ &=&\frac{exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]}{exp[\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]} \end{eqnarray}\]
从而上式的分母又能够省略
假定\(\gamma_{c_k}=-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}\)，而\(\beta_{c_k}=\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}\)
从而:
\[P(Y={c_k}|X={\bf x})=\frac{exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}{\sum_{k=1}^{|c|}exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}=S(\eta)_{c_k}\]
这里\(\eta=[{\beta_{c_1}^T{\bf x}+\gamma_{c_1}},{\beta_{c_2}^T{\bf x}+\gamma_{c_2}},...,{\beta_{c_|c|}^T{\bf x}+\gamma_{c_|c|}}]\),能够发现它就是一个softmax函数，即：
\[S(\eta)_{c_k}=\frac{exp(\eta_{c_k})}{\sum_{k=1}^{|c|}exp(\eta_{c_k})}\]
softmax之因此这样命名就是由于它有点像max函数。
对于LDA模型，假设将样本空间划分红n个互相独立的空间，则线性分类面，就是该分类面两边的类别预测几率相等的时候，即：
\(P(Y={c_k}|X={\bf x})=P(Y={c_k'}|X={\bf x})\)
\(\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k}=\beta_{c_k'}^T{\bf x}+\gamma_{c_k'}\)
\({\bf x}^T(\beta_{c_k'}-\beta_{c_k})=\eta_{c_k'}-\eta_{c_k}\)

参考资料：
[] 边肇祺。模式识别 第二版
[] Machine learning A Probabilistic Perspective
[] William.Feller, 几率论及其应用(第1卷)