【高等代数】01 - 行列式和矩阵的秩

　　高等代数究竟应该包含哪些内容？从名字上看它应当包含代数学中的全部高等内容。但通常来说，这里的“高等”只是相对中学的“初等”而言的，它包含线性代数、多项式等内容。抽象代数这样的“高级”分支比它更抽象，须要独立分支去讨论。前面咱们已经学习过线性代数，请先回顾一下该课程。首先要清楚，线性代数的三大内容：线性空间、线性变换、线性函数（向量的度量）。线性空间的概念以前已经阐述得比较完备了，这里只强调一点：咱们说的向量是一种代数结构，而非特指坐标向量，虽然经过映射能够将它们等价起来。

　　以前的线性代数课程更偏重概念的阐述和结构的搭建，而忽略了一些具体的例子和方法。这里我想先花一些篇幅，整理一下教材中常常出现的好的问题，以及一些有趣的结论。这些问题将以不一样的课题进行组织，其中会穿插不一样的知识点。它们不光在现实场景中有着普遍的应用，对这些典型问题的思考，也很是有助于理解基本概念。为了保持概念的连续性，这里仍是会重复提出已经熟知的概念，既是回顾也是扩展。

1. 行列式

　　线性空间的一个基本问题就是解线性方程组，这其中须要用到一个叫行列式的东西。不要忘记，行列式本质上是一个\(n\)重反对称线性函数（设定单位矩阵的值为1），这个定义比古怪的直接定义公式要清晰得多。

　　行列式是相对独立的内容，计算时有不少技巧，这里再搜集一些常见的题型。除了定义以外，以前咱们还介绍了几种经常使用方法，好比基本变换法、拉普拉斯定理（按行展开）、加边法、待定系数法、递推方程法、矩阵分解法等。这里再具体看一些例子和方法，来丰富以前行列式的内容。还有更多特殊行列式的计算方法，会在相关的主题中继续讨论。

1.1 通常方法

　　首先计算时不能彻底忘记最原始的定义，就是全部表明元素的乘积之和。例如对于元素全为\(\pm 1\)的行列式（阶数\(n>1\)），因为它的每一个乘项都是\(\pm 1\)，而项数为偶数，故总和\(|A|\)一定是偶数。进一步地，经过初等变换能够获得式（1），其中\(b_{ij}\)只取\(0,\pm 2\)、\(c_{ij}\)只取\(0,\pm 1\)，从而能够获得：\(|A|\)必定是\(2^{n-1}\)的倍数。

\[|A|=\begin{vmatrix}\pm 1&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{vmatrix}=\pm 2^{n-1}\begin{vmatrix}c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\ddots &\vdots\\c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{vmatrix}\tag{1}\]

　　初等变换一直是行列式计算最重要的方法，而矩阵的分块变换对复杂表达式的行列式更是提供了便捷的途径。最简单就数式（2）左的变换，它用最直观的方法证实了\(|AB|=|A||B|\)。还有当\(A\)可逆时（\(B,C\)不必定是方阵），容易获得式（3）。当\(A,B,C,D\)都是方阵、且\(AC=CA\)时，则式（3）的行列式才等于\(|AD-CB|\)。但注意到最终表达式中并无\(A^{-1}\)，咱们须要讨论\(A\)不可逆的状况。

　　用\(A+tI,D+tI\)代替\(A,D\)，设获得的行列式为\(f(t)\)，它显然是一个\(2n\)次多项式。在\(t\)足够小的去心领域里，\(A+tI\)一定是可逆的，故有\(f(t)=|(A+tI)(D+tI)-CB|\)，由连续性可知\(f(0)=|AD-CB|\)。也就是说对任意方阵\(A\)，都有式（4）成立，一样若是有\(AB=BA\)，也能够获得行列式的值为\(|DA-CB|\)。多项式的连续性在这里发挥了关键做用，它对一些异常状况的处理十分有效，立刻咱们还会碰到。

\[\begin{bmatrix}A&0\\I_n&B\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}0&-AB\\I_n&0\end{bmatrix}\;\Rightarrow\;|AB|=|A||B|\tag{2}\]

\[\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|A||D-CA^{-1}B|\tag{3}\]

\[AC=CA\;\Rightarrow\;\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|AD-CB|\tag{4}\]

　　还有，经过式（5）的两种变换，能够获得重要的结论（6）。因此对于具备形式\(|I_n-AB|\)、且\(m\)很小的行列式，把它转化为\(|I_m-BA|\)会简单得多，你能够尝试一下计算式（7）的行列式。

\[\begin{bmatrix}I_n&A\\0&I_m-BA\end{bmatrix}\leftarrow\begin{bmatrix}I_n&A\\B&I_m\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}I_n-AB&0\\B&I_m\end{bmatrix}\tag{5}\]

\[|I_m-BA|=|I_n-AB|\tag{6}\]

\[\begin{vmatrix}0&2a_1&3a_1&\cdots&na_1\\a_2&a_2&3a_2&\cdots&na_2\\a_3&2a_3&2a_3&\cdots&na_3\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n&2a_n&3a_n&\cdots&(n-1)a_n\end{vmatrix}\tag{7}\]

1.2 其它方法

　　递推法是计算行列式的经常使用方法，好比式（8）左的三对角型\(D_n\)。咱们不可贵到它的递推式\(D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}\)，且有初始值\(D_1=a,D_2=a^2-bc\)。利用递推式的母函数法，并令\(x,y\)是\(x+y=a,xy=bc\)的两个根，很容易地就求得了式（8）右的结果。

\[D_n=\begin{vmatrix}a&b&&\\c&\ddots&\ddots&\\&\ddots&\ddots&b\\&&c&a\end{vmatrix}=\dfrac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}\tag{8}\]

　　矩阵分解法的表明是如式（9）左的循环矩阵\(C_n\)，为了在循环中找到不变性，能够用另外一个循环来进行固定。具体作法能够是考察列向量\([1,\omega,\cdots,\omega^{n-1}]'\)，其中\(\omega\)是\(\omega^n=1\)的任意根，它与\(C_n\)第\(i\)行的内积是\(\omega^{i-1}\sum\limits_{j=1}^n\omega^{j-1}a_j\)，其中的公共项\(\sum\limits_{j=1}^n\omega^{j-1}a_j\)能够提取出来。如今取\(\omega\)为单位根，并记\(W\)为式（9）右，这样就能获得等式（10），从而有\(|C_n|=\prod\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^n\omega^{i(j-1)}a_j\)。这个方法有明显拼凑的迹象，后面咱们会用更加深入的结论再次计算一遍。

\[C_n=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_n&a_1&\cdots&a_{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_2&a_3&\cdots&a_1\end{bmatrix};\;W=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&\omega&\cdots&\omega^{n-1}\\1&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\omega^{n-1}&\cdots&\omega^{(n-1)^2}\end{bmatrix}\tag{9}\]

\[C_n\cdot W=\prod_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^n(\omega^{i(j-1)}a_j)\cdot W\tag{10}\]

　　我还看到过行列式的一个有趣应用，就是利用行列式的初等变换来进行因式分解。好比很容易知道式（11）左能够写成式中的行列式，简单的初等变换就能获得因子\(x+y+z\)。固然这种方法的弊端就是要先找到合适的行列式，在有些场合下也许是比较容易的。

\[x^3+y^3+z^3-3xyz=\begin{vmatrix}x&y&z\\z&x&y\\y&z&x\end{vmatrix}=(x+y+z)\begin{vmatrix}1&y&z\\1&x&y\\1&z&x\end{vmatrix}\tag{11}\]

2. 矩阵的秩

2.1 通常方法

　　解线性方程组衍生出的另外一个问题就是矩阵和它的秩，但这里矩阵的做用也仅仅是一种记法，能够讨论的也只有行向量和列向量。这里最重要的结论固然就是：矩阵的行秩和列秩相同，它们统称为矩阵的秩。如今设矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则能够找到它的极大无关行向量组\(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\)和极大无关列向量组\(\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}\)，如今来考虑由它们的交点组成的子矩阵\(B\)。首先因为\(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\)组成的子矩阵\(C\)的秩为\(r\)，故\(C\)的列向量的秩也是\(r\)。另外因为\(\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}\)能够线性表示其它列，故\(B\)的列向量能够线性表示\(C\)的其它列，这就是说\(B\)的列向量是\(C\)的列向量的极大线性无关组，从而\(B\)的秩也是\(r\)。这个结论仍是比较有用的，好比由于奇数阶反对称矩阵的行列式为\(0\)（各行提取\(-1\)），可知反对称矩阵的秩只能为偶数（反对称矩阵的标准型可直接获得该结论）。

　　线性相关性是秩的根本意义，这个简单的认知倒是不少结论的关键，由此获得的式（12）（13）之后会常常用到。另外假设\(A_{m\times n}\)秩为\(r\)，则能够选出列向量的极大无关组\(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\)，组成矩阵\(B\)。这时\(A\)的每一列能够线性表示为\(c_{1j}\alpha_1+\cdots+c_{rj}\alpha_r\)，则矩阵\(C=\{c_{ij}\}\)知足\(A=BC\)。由式（13）可知\(C\)的秩也为\(r\)。总结就是任何秩为\(r\)的矩阵\(A_{m\times n}\)都能分解为两个满秩矩阵\(B_{m\times r},C_{r\times n}\)的乘积。

\[\text{rank}(A+B)\leqslant\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\tag{12}\]

\[\text{rank}(AB)\leqslant\min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\tag{13}\]

　　• 求证：\(\text{rank}(I-AB)\leqslant\text{rank}(I-A)+\text{rank}(I-B)\)。

　　和行列式同样，初等变换是判断矩阵秩的基本方法，其中分块初等变换一样能带来惊喜的结论。好比由（2）的变换，容易获得式（14）的Sylvester秩不等式。相似地由变换\(\begin{bmatrix}B&0\\0&ABC\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}B&AB\\BC&0\end{bmatrix}\)，也容易证实式（15）的Frobenius秩不等式。

\[\text{rank}(AB)\geqslant\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n\tag{14}\]

\[\text{rank}(ABC)\geqslant\text{rank}(AB)+\text{rank}(BC)-\text{rank}(B)\tag{15}\]

2.2 其它方法

　　咱们知道，矩阵的乘法其实就是多组线性表示，也许乘法的秩和线性方程组能创建起联系。首先把\(AB\)的列向量当作是\(A\)的列向量的线性表示\(\sum\limits_i b_{ij}\alpha_i\)，若是\(\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)\)，则\(AB,A\)的列向量组是等价的（考虑生成线性空间），从而矩阵方程\(ABX=A\)有解（式（16））。再来把\(AB\)的行向量当作是\(B\)的行向量的线性表示\(\sum\limits_j a_{ij}\beta_j\)，若是\(\text{rank}(AB)=\text{rank}(B)\)，则\(AB,B\)的行向量组是等价的，从而线性方程\(ABX=0,BX=0\)同解（式（17））。

\[\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)\;\Leftrightarrow\;\exists X(ABX=A)\tag{16}\]

\[\text{rank}(AB)=\text{rank}(B)\;\Leftrightarrow\;\forall X(ABX=0\Leftrightarrow BX=0)\tag{17}\]

　　等价的方程组形式并非什么特殊的结论，但对于描述论证更加方便。好比若是\(AB,B\)的秩相同，则\(ABX=0,BX=0\)同解，则显然\(ABCX=0,BCX=0\)也同解，故\(ABC,BC\)的秩也相同。用相关性也能证得一样的结论，但描述略显繁琐。式（18）的结论是很是有用的，好比考察矩阵列\(A,A^2,A^3,\cdots\)，它们的秩是不升的，故必然存在\(\text{rank}(A^{k+1})=\text{rank}(A^{k})\)。根据式（18）便知，存在\(k\)，使得\(m\geqslant k\)时恒有\(\text{rank}(A^m)=\text{rank}(A^k)\)（这个与线性变换中的结论一致）。

\[\text{rank}(AB)=\text{rank}(B)\;\Leftrightarrow\;\text{rank}(ABC)=\text{rank}(BC)\tag{18}\]

　　利用线性方程讨论矩阵的秩，还有一个很是特殊的例子。先看实系数方程\(A'AX=0\)和\(AX=0\)，后者的解空间显然包含前者，但由\(0=X'A'AX=|AX|^2\)也能获得\(AX=0\)。故它们是同解的，从而有式（19）成立。一样在复数域，也容易有式（20）成立，它们都是很是重要的结论。

\[A\in\mathbb{R}_n\;\Rightarrow\;\text{rank}(A'A)=\text{rank}(AA')=\text{rank}(A)\tag{19}\]

\[A\in\mathbb{C}_n\;\Rightarrow\;\text{rank}(\bar{A}'A)=\text{rank}(A\bar{A}')=\text{rank}(A)\tag{20}\]

　　最后来考察对角占优矩阵\(A\)（\(|a_{ii}|>\sum\limits_{j\ne i}a_{ij}\)），能够用反证法证实它是满秩的（\(|A|\ne 0\)）。不然列向量是线性相关的，即有\(k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0\)，其中\(k_i\)不全为\(0\)。设\(|k_i|\)是最大的系数，则容易在第\(i\)行导出矛盾。更特别地，若是\(a_{ii}>\sum\limits_{j\ne i}a_{ij}\)，还能够证实\(|A|>0\)。这时考察以下矩阵\(B(t)\)，因为\(|B(t)|\)是一个多项式，它必然是连续函数。而已知\(|B(0)|>0\)，且在\(t\in[0,1]\)上恒有\(|B(t)|\ne 0\)，从而必然有\(|A|=|B(1)|>0\)。多项式的连续性在这里再次发挥威力。

\[B(t)=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}t&\cdots&a_{1n}t\\a_{21}t&a_{22}&\cdots&a_{2n}t\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}t&a_{n2}t&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\tag{21}\]

 

　　本系列目录

　　　　01 - 行列式和矩阵的秩

　　　　02 - 矩阵的逆和类似矩阵

　　　　03 - 二次型和矩阵的分解

　　　　04 - 多项式环

　　　　未完待续

　　博客总目录在这里

 

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【前序学科】 线性代数，微积分，抽象代数

【参考资料】

[1] 《高等代数（上、下）》，丘维声，2010

　　这部上下分册的高等代数可谓国内最经典的教材之一，上册基本涵盖了线性代数的内容，下册则引入了更多抽象和理论的东西。通篇题材普遍，例题和习题都十分丰富和具备启发性。