剑指offer：变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次能够跳上1级台阶，也能够跳上2级……它也能够跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

 

思路

1. 首先想到的解决方案是根据普通跳台阶题目改编，由于能够跳任意级，因此要加上前面台阶的全部可能，最后再加上能够一步跳上最后一阶的可能。

  
 
 
   public 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public int JumpFloorII(int target) { 

  
   
   
   

  
 
 
   if (target == 
 
   1) 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   1; 

  
   
   
   

  
 
 
   if (target == 
 
   2) 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   2; 

  
   
   
   

  
 
 
   // sum用于保存前面全部台阶次数的和 

  
   
   
   

  
 
 
   int sum = 
 
   3; 

  
   
   
   

  
 
 
   int total = 
 
   0; 

  
   
   
   

  
 
 
   for ( 
 
   int i= 
 
   3; i<=target; i++){ 

  
   
   
   

  
 
 
   // +1 的意思就是一步就跳上来 

  
   
   
   

  

   
  total = sum + 
 
   1; 

  
   
   
   

  

   
  sum += total; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  
 
 
   return total; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  } 

  

 

2. 更进一步咱们能够推导出该问题的通项公式

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析以下: 
f(1) = 1 
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。 
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 
… 
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明： 
1）这里的f(n) 表明的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。 
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1 
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶， 
那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3) 
所以结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3) 
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论： 
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6) 由以上已是一种结论，可是为了简单，咱们能够继续简化： 
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) 
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1) 
能够得出： 
f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有一、二、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

  

   
  | 
 
   1 ,(n= 
 
   0 ) 

  
   
   
   

  

   
  f(n) = | 
 
   1 ,(n= 
 
   1 ) 

  
   
   
   

  

   
  | 
 
   2*f(n 
 
   -1),(n>= 
 
   2) 

  

  
因此能够写出以下代码：

  
 
 
   public 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public int JumpFloorII(int target) { 

  
   
   
   

  
 
 
   if (target <= 
 
   0) { 

  
   
   
   

  
 
 
   return - 
 
   1; 

  
   
   
   

  

   
  } 
 
   else 
 
   if (target == 
 
   1) { 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   1; 

  
   
   
   

  

   
  } 
 
   else { 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   2 * JumpFloorII(target - 
 
   1); 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  } 

  

  
3, 固然咱们拒绝递归调用，由于递归会形成不少重复计算或是内存溢出风险

  
 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public: 

  
   
   
   

  
 
 
   int jumpFloorII(int number) { 

  
   
   
   

  
 
 
   int jumpFlo= 
 
   1; 

  
   
   
   

  
 
 
   while(--number) 

  
   
   
   

  

   
  { 

  
   
   
   

  

   
  jumpFlo*= 
 
   2; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  
 
 
   return jumpFlo; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  }; 

  
   
   
   

  
 

  

 

4. 还有什么地方能够优化呢？ 乘法是否是还能够用二进制位移操做优化呢！

  
 
 
   public 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public int JumpFloorII(int target) { 

  
   
   
   

  
 
 
   if(target<= 
 
   0) 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   0; 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   1<<(target- 
 
   1); 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  }