非对称加密算法--RSA加密原理及运用

时间 2019-12-06

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密码学是在编码与破译的斗争实践中逐步发展起来的,并随着先进科学技术的应用，已成为一门综合性的尖端技术科学。

密码学发展史

在说RSA加密算法以前，先说下密码学的发展史。其实密码学的诞生，就是为了运用在战场，在公元前，战争之中出现了秘密书信。在中国历史上最先的加密算法的记载出自于周朝兵书《六韬.龙韬》中的《阴符》和《阴书》。在遥远的西方，在希罗多德（Herodotus）的《历史》中记载了公元前五世纪，希腊城邦和波斯帝国的战争中，普遍使用了移位法进行加密处理战争通信信息。算法

相传凯撒大帝为了防止敌人窃取信息，就使用加密的方式传递信息。那么当时的加密方式很是的简单，就是对二十几个罗马字母创建一张对照表，将明文对应成为密文。那么这种方式其实持续了好久。甚至在二战时期，日本的电报加密就是采用的这种原始加密方式。
安全

早期的密码学一直没有什么改进，几乎都是根据经验慢慢发展的。直到20世纪中叶，由香农发表的《秘密体制的通讯理论》一文，标志着加密算法的重心转移往应用数学上的转移。因而，逐渐衍生出了当今重要的三类加密算法：非对称加密、对称加密以及哈希算法（HASH严格说不是加密算法，但因为其不可逆性，已成为加密算法中的一个重要构成部分）。服务器

1976年之前，全部的加密方法都是同一种模式：加密和解密使用一样规则（简称"密钥"），这被称为"对称加密算法"，使用相同的密钥，两次连续的对等加密运算后会回复原始文字，也有很大的安全隐患。网络

1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，能够在不直接传递密钥的状况下，完成解密。这被称为"Diffie-Hellman密钥交换算法"。也正是由于这个算法的产生，人类终于能够实现非对称加密了：A给B发送信息函数

B要先生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人均可以得到，私钥则是保密的。

A获取B的公钥，而后用它对信息加密。

B获得加密后的信息，用私钥解密。

理论上若是公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通讯就是安全的。学习

1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，能够实现非对称加密。这种算法用他们三我的的名字命名，叫作RSA算法。从那时直到如今，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。绝不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。这种算法很是可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是232个十进制位，也就是768个二进制位，所以能够认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全，固然量子计算机除外。测试

RSA算法的原理

下面进入正题，解释RSA算法的原理，其实RSA算法并不难，只须要一点数论知识就能够理解。大数据

素数：又称质数，指在一个大于1的天然数中，除了1和此整数自身外，不能被其余天然数整除的数。

互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

欧拉函数

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（好比，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）计算这个值的方法就叫作欧拉函数，以φ(n)表示。编码

计算8的欧拉函数，和8互质的 1、二、3、四、5、六、7、8

φ(8) = 4
若是n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则φ(n) = φ(p^k) = p^k - p^(k-1)。也就是φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4加密

计算7的欧拉函数，和7互质的 1、2、3、4、5、6、7

φ(7) = 6
若是n是质数，则 φ(n)=n-1 。由于质数与小于它的每个数，都构成互质关系。好比5与一、二、三、4都构成互质关系。

计算56的欧拉函数

φ(56) = φ(8) φ(7) = 4 6 = 24
若是n能够分解成两个互质的整数之积，即 n = p k ，则φ(n) = φ(p k) = φ(p1)*φ(p2)

欧拉定理：若是两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，能够被n整除。

费马小定理：欧拉定理的特殊状况，若是两个正整数m和n互质，并且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

模反元素

还剩下最后一个概念，模反元素：若是两个正整数e和x互质，那么必定能够找到整数d，使得 ed-1 被x整除，或者说ed被x除的余数是1。
那么d就是e相对于x的模反元素。

等式转换

根据欧拉定理

因为1^k ≡ 1，等号左右两边都来个k次方

因为1* m ≡ m，等号左右两边都乘上m

根据模反元素，由于e*d 必定是x的倍数加1。因此以下：

经过屡次的等式转换。终于能够将这两个等式进行合并了！以下：

这个等式成立有一个前提！就是关于模反元素的，就是当整数e和φ(n)互质！必定有一个整数d是e相对于φ(n)的模反元素。
咱们能够测试一下。
m取值为4
n取值为15
φ(n)取值为8
e 若是取值为3
d 能够为十一、19...(模反元素很明显不止一个，其实就是解二元一次方程)
若是你测试了，那么你能够改变m的值试一下，其实这个等式不须要m和n 互质。只要m小于n 等式依然成立。
这里须要注意的是，咱们能够看作 m 经过一系列运算获得结果仍然是 m。这一系列运算中，分别出现了多个参数n、φ(n)、e还有d。

m 的 e乘上d 次方为加密运算，获得结果 c
c 模以 n 为解密运算，获得结果 m
这彷佛能够用于加密和解密。但这样，加密的结果会很是大。明文数据将很是小（虽然RSA用于加密的数据也很小，可是没这么大悬殊），真正的RSA要更增强大，那么RSA是怎么演变来的呢？？
早期不少数学家也停留在了这一步！直到1967年迪菲赫尔曼密钥交换打破了僵局！

迪菲赫尔曼密钥交换

这个密钥交换当时轰动了整个数学界！并且对人类密码学的发展很是重要，由于这个伟大的算法可以拆分刚才的等式。当非对称加密算法没有出现之前，人类都是用的对称加密。因此密钥的传递，就必需要很是当心。
迪菲赫尔曼密钥交换就是解决了密钥传递的保密性，咱们来看一下

假设一个传递密钥的场景。算法就是用3 的次方去模以17。三个角色

服务器随机数 15
这个15只有服务器才知道。经过算法获得结果 6 由于 3的15次方 mod 17 = 6 。而后将结果 6 公开发送出去，拿到客户端的 12 ，而后用12^15 mod 17 获得结果10(10就是交换获得的密钥)
客户端随机数13

客户端用3 的 13次方 mod 17 = 12 而后将获得的结果12公布出去。
拿到服务器的 6 ，而后用6^13 mod 17 获得结果10(10就是交换获得的密钥)

第三者

第三者只能拿到6 和 12 ，由于没有私密数据1三、15，因此它无法获得结果10。

为何 6的13次方会和12的15次方获得同样的结果呢?由于这就是规律，咱们能够用小一点的数字测试一下3^3 mod 17 = 10和10 ^ 2 mod 17 ； 3 ^ 2 mod 17 = 9和9^3 mod 17结果都是15。迪菲赫尔曼密钥交换最核心的地方就在于这个规律

RSA的诞生

如今咱们知道了m^e % n = c是加密，c^d % n = m是解密，m就是原始数据，c是密文，公钥是n和e，私钥是n和d，因此只有n和e是公开的。加密时咱们也要知道φ(n)的值，最简单的方式是用两个质数之积获得，别人想破解RSA也要知道φ(n)的值，只能对n进行因数分解，那么咱们不想m被破解，n的值就要很是大，就是咱们以前说的，长度通常为1024个二进制位，这样就很安全了。可是听说量子计算机(用于科研，还没有普及)能够破解，理论上量子计算机的运行速度无穷快，你们能够了解一下。

以上就是RSA的数学原理

检验RSA加密算法

咱们用终端命令演示下这个加密、解密过程。
假设m = 12(随便取值，只要比n小就OK)，n = 15(仍是随机取一个值)，φ(n) = 8，e = 3(只要和φ(n)互质就能够)，d = 19（3d - 1 = 8，d也能够为3,11等等，也就是d = (8k + 1)/3 ）
终端分别以m=12，7输入结果

OpenSSL进行RSA的命令运行

Mac能够直接使用OpenSSL，首先进入相应文件夹

生成公私钥

// 生成RSA私钥，文件名为private.pem，长度为1024bit
openssl genrsa -out private.pem 1024

// 从私钥中提取公钥
openssl rsa -in private.pem -pubout -out publick.pem

// 查看刚刚生成好的私钥
cat private.pem

// 查看刚刚生成好的公钥
cat publick.pem

咱们能够看到base64编码，明显私钥二进制很大，公钥就小了不少。
这时候咱们的文件夹内已经多了刚刚生成好的公私钥文件了

// 将私钥转换为明文
openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt

里面就是P一、P2还有KEY等信息。

对文件进行加密、解密

// 编辑文件message内容为hello Vincent!!!
// 刚刚的public.pem写成了publick.pem(哎。。。)
 $ vi message.txt
 $ cat message.txt
 hello Vincent!!!
// 经过公钥加密数据时，使用encrypt对文件进行加密
 $ openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey publick.pem -pubin -out enc.txt
// 此时查看该文件内容为乱码
 $ cat enc.txt
j��E]֌a��d�kUE�&<
                 ��I*��V/��pL[���ˋ�O�+�-�M��K�ܱ�&⪅ծO��2���o34�:�$���6��C�L��,b�'M�S�k�0���A��3%�[I���1�����ps"%
// 经过私钥解密数据
 $ openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt
// 已成功解密，正确显示文件内容
 $ cat dec.txt
  hello Vincent!!!

// 经过私钥加密数据时，要使用sign对文件进行重签名
$ openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc.bin
// 此时查看该文件内容一样为乱码
$ cat enc.bin
{���Ew�3�1E��,8-OA2�Is�:���:�ԅ@MU����؜
                                      �i1B���#��6���ׂm�D(�t#/���    �ہ�������ݬ>(�>�^@�C��3�ӸMQт�O%
// 经过公钥解密数据
$ openssl rsautl -verify -in enc.bin -inkey publick.pem -pubin -out dec.bin
// 已成功解密，正确显示文件内容
$ cat dec.bin
 hello Vincent!!!

RSA用途及特色

到这里，你们都知道RSA经过数学算法来加密和解密，效率比较低，因此通常RSA的主战场是加密比较小的数据，好比对大数据进行对称加密，再用RSA给对称加密的KEY进行加密，或者加密Hash值，也就是数字签名。

关于RSA数字签名后面再慢慢阐述。该文章为记录本人的学习路程，但愿可以帮助你们，也欢迎你们点赞留言交流！！！https://www.jianshu.com/p/ad3...