深度学习卷积网络中反卷积/转置卷积的理解 transposed conv/deconv

搞明白了卷积网络中所谓deconv究竟是个什么东西后，不写下来怕又忘记，根据参考资料，加上我本身的理解，记录在这篇博客里。

先来规范表达

• 为了方便理解，本文出现的举例状况都是2D矩阵卷积，卷积输入和核形状都为正方形，x和y轴方向的padding相同，stride也相同。
• 记号： 
   i,o,k,p,s $i,o,k,p,s$ 分别表示：卷积/反卷积的输入大小  input size $inputsize$，卷积/反卷积输出大小  output size $outputsize$，卷积/反卷积核大小  kernel size $kernelsize$，  padding $padding$，  stride $stride$ 。
• 举例（以下左图）： 
  输入  X∈R(4,4) $X\in {\mathbb{R}}^{(4,4)}$矩阵，卷积核  w∈R(3,3)，padding=0，stride=1 $w\in {\mathbb{R}}^{(3,3)}，padding=0，stride=1$的状况下，卷积的输出  Y∈R(2,2) $Y\in {\mathbb{R}}^{(2,2)}$，就记为  i=4,o=2,k=3,p=0,s=1 $i=4,o=2,k=3,p=0,s=1$ 。

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推翻错误的理解

第一次看到deconv这个词，觉得deconv的结果就是卷积的逆，以为神奇，不由产生了“哦？转置的卷积就能够求逆了吗？”这样的想法，而后在matlab里面实验求证，我还记得当时觉得反卷积可以求逆，考虑到图片进行常规卷积操做输出大小又不可能变大（same/valid），因而我还假设反卷积输出大小不变，用了same padding和原核的转置做为反卷积配置，结果发现根本不是那么一回事好吗。 
其实DL中的deconv，是一种上采样过程，举个比方：输入  X∈R(4,4) $X\in {\mathbb{R}}^{(4,4)}$矩阵，卷积核  w∈R(3,3)，pad=0，stride=1 $w\in {\mathbb{R}}^{(3,3)}，pad=0，stride=1$的状况下（以下左图），卷积的输出  Y∈R(2,2) $Y\in {\mathbb{R}}^{(2,2)}$。对  Y $Y$进行deconv，它只能作到把还原输出大小到和  X $X$同样大，输出值和  X $X$有那么一点联系。 
因此啊deconv这个名字至关误导人呐！这在cs231n课程里也被吐槽过，你们如今更喜欢用transposed conv来表述反卷积。为了方便起见，后文就用反卷积这个词了。

第二个容易confused的地方，就是不少文章都说卷积核的转置就能够求反卷积，又陷入迷茫“就算把卷积核转置（或者左右翻转上下翻转），卷积后输出仍是愈来愈小（或不变，至少不会增大）啊”……直到看到文献和相应的这个动画（其余动画在github-convolution arithmetic1）

卷积   i=4,k=3,p=0,s=1,则 o=2 $i=4,k=3,p=0,s=1,则o=2$	反卷积  i=2,k=3,p=0,s=1,则 o=4 $i=2,k=3,p=0,s=1,则o=4$

注意图中蓝色（下面）是输入，绿色（上面）是输出，卷积和反卷积在  p、s、k  $p、s、k$等参数同样时，是至关于  i $i$ 和  o $o$ 调了个位。 
这里说明了反卷积的时候，是有补0的，即便人家管这叫no padding（  p=0 $p=0$），这是由于卷积的时候从蓝色  4×4 $4\times 4$ 缩小为绿色  2×2 $2\times 2$，因此对应的  p=0 $p=0$ 反卷积应该从蓝色  2×2 $2\times 2$ 扩展成绿色  4×4 $4\times 4$。并且转置并非指这个  3×3 $3\times 3$ 的核  w $w$ 变为  wT $w^T$，但若是将卷积计算写成矩阵乘法（在程序中，为了提升卷积操做的效率，就能够这么干，好比tensorflow中就是这种实现），  Y⃗ =CX⃗ $\stackrel{\to }{Y}=C\stackrel{\to }{X}$（其中  Y⃗ $\stackrel{\to }{Y}$ 表示将  Y⃗ $\stackrel{\to }{Y}$ 拉成一维向量，  X⃗ $\stackrel{\to }{X}$ 同理），那么反卷积确实能够表示为  CTY⃗ $C^T\stackrel{\to }{Y}$，而这样的矩阵乘法，偏偏等于  w $w$ 左右翻转再上下翻转后与补0的  Y $Y$卷积的状况。

而后就产生了第三个confuse：“补0了会不会有影响，还能经过反卷积近似输入  X $X$ 吗？”其实反卷积也不必定能达到近似的效果，图像里的卷积，至关于一种相关操做，而反卷积维持了这种相关操做时的  w $w$ 与  X $X$、与  Y $Y$ 之间的联系维持了。至于补0后操做是否还等价，上一段已经说明了是等价的，读者能够在阅读完后面的文章后本身尝试一下。

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反卷积以及反向传播的过程

卷积和反卷积的过程在arXiv-A guide to convolution arithmetic for deep learning2写的很是详细，还有不少例子便于理解，在这里我就截图出重点来（ps.文中的figure2.1就是上图的左边）。剩下的例子请你们多看看原文，最好本身动手算一下，我也贴个我算的过程（  Ci $C_i$ 表示矩阵  C $C$ 的第  i $i$ 行），供参考。 
关于反向传播， 知乎-如何理解深度学习中的deconvolution networks3有详细的推导过程。