傅里叶变换1 ~ 离散时间傅里叶变换（DTFT）

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离散时间傅里叶变换（DTFT）-- 序列的傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（DTFT)即序列的傅里叶变换，在分析信号的频谱，研究离散时间系统的频域特性以及在信号通过系统后的频域的分析时，都是主要的工具。

1、正变换

序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换定义为：

由于时域是离散的，故频谱特性一定是周期的。又由于时域 x(n) 是非周期的，则频域一定是以ω为变量的连续函数。

2、反变换

3、序列傅里叶变换的收敛性 — DTFT的存在条件

3.1、一致收敛

序列的傅里叶变换可以看成序列的 z 变换在单位圆上的值，即：


序列绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件。
举个小例子：求矩形序列x(n)=RN(n) 的N点DTFT

3.2、均方收敛

当序列x(n)不满足绝对可和条件，而是满足以下的平方可和条件：

则满足均方收敛条件：

序列x(n)能量有限（平方可和）也是其傅里叶变换存在的充分条件。

3.3、说明

(1)

由于

若x(n)是绝对可和的，则它一定是平方可和的，但反过来不一定成立。也就是说，一致收敛一定满足均方收敛，而均方收敛不一定满足一致收敛。

(2)

一致收敛和均方收敛是傅里叶变换存在的充分条件，不满足这两个条件的某些序列引入冲激函数后 ，也可得到它们的傅里叶变换。
例如：周期性序列、单位阶跃序列

4、离散时间傅里叶变换（DTFT）的主要性质

4.1、线性

4.2、序列的位移

时域的移位对应于频域有一个相位移

4.3、乘以指数序列

4.4、乘以复指数序列（调制性）

4.5、时域卷积定理

时域的线性卷积对应于频域的相乘

4.6、频域卷积定理

时域的加窗（即相乘）对应于频域的周期性卷积并除以2π

4.7、序列的线性加权

4.8、帕塞瓦定理

4.9、序列的翻褶

4.10、序列的共轭