BZOJ2818 Gcd

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知识点：　　欧拉函数、积性函数

解题思路：

　　对于有序数对 \((x,y)\)，若其知足 \(gcd(x,y)=p\)（\(p\)为质数），咱们能够将 \(x\) 和 \(y\) 同时除以 \(p\)，上式就变成了\(gcd(x',y')=1\)，那么对于一个 \(x\) ，知足条件的 \(y\) 的个数为 \(\varphi (x)\) 。对于 \([1,N]\) 中的每个质数 \(p\)，咱们能够经过求 \([1,N/p]\) 这个范围内的欧拉函数的总和来求得 \(gcd(x,y) = p\) 的无序数对的个数，考虑到题目中的数对是有序的，因此还须要将无序数对乘二。还有一点是当 \(x\) 和 \(y\) 都是相同的质数时须要特殊处理。

　　求前 \(n\) 个数的欧拉函数值的算法主要就是利用欧拉函数是积性函数的性质和一条欧拉函数的经典计算式：

　　\(\varphi(n) = \prod_{i=1}^{k} (p_i-1)p_i^{c_i-1}\).

AC代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int maxn = 1e7+5;
 6 bool check[maxn];
 7 int phi[maxn];
 8 int prime[maxn>>1],tot;
 9 
10 void init(int N){
11     phi[1]=1;
12     tot=0;
13     for(int i=2;i<=N;i++){
14         if(!check[i]){
15             phi[i]=i-1;
16             prime[tot++]=i;
17         }
18         for(int j=0;j<tot&&(LL)i*prime[j]<=N;j++){
19             check[i*prime[j]]=true;
20             if(i%prime[j]==0){
21                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
22                 break;
23             } else{
24                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
25             }
26         }
27     }
28 }
29 
30 int main(){
31     LL ans=0;
32     int N;
33     scanf("%d",&N);
34     init(N);
35 
36     for(int i=0;i<tot;i++){
37         for(int j=1;j<=N/prime[i];j++)
38             ans+=phi[j]*2;
39         ans--;
40     }
41     printf("%lld\n",ans);
42     return 0;
43 }