【BZOJ2818】Gcd

题面

题目分析

莫比乌斯反演模板题。

假设要求\(gcd(x,y)==k\)的数对的对数，即\(gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})==1\)的数对的对数。

(如下\(x,y,n\)均视为除以\(k\)以后)

设\(f[i]\)为\(gcd(x,y)==i\)的对数，\(g[i]\)为\(gcd(x,y)==xi\)的对数，其中\(x\in Z\)。

显然，\(g[i]=(n/i)*(n/i)\)

有\(g[x]=\sum\limits_{x|d}^nf[d]\)，而后，你惊喜地发现，这就是莫比乌斯反演的模板。

因此\(f[x]=\sum\limits_{x|d}^n\mu(\frac{d}{x})*g[d]\)，直接计算便可。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=10000005;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int mu[N],prime[N]; 
bool vis[N];

int main(){
    int n=Getint();
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=prime[0];i++)
        for(int j=1;j*prime[i]<=n;j++)
            ans+=(LL)mu[j]*(n/j/prime[i])*(n/j/prime[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

P.S

增强版：【BZOJ2820】YY的GCD