线性代数公开课，《乘法和逆矩阵》中的五种矩阵乘法和Guass-Jordan消元

课程地址：麻省理工公开课 线性代数 MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 中英双语字幕

1. 矩阵乘法

例子：

第一种，同济课本上的，行乘列。
C21 = A第2行中元素，逐个乘以B的第1列元素，累加 = 3x3 + 4x2 = 17
C下标与AB的行列对应，逐个计算。

第二种和第三种要利用第一课中，线性组合的概念，线性组合与课本上的乘法完全不同，一些时间才转过弯。

回顾一下列的线性组合乘法：
图上乘法过程描述为D的列的线性组合，E表示D的列是怎么组合的，就是说，F = 1个D的第一列 + 2个D的第二列，1和2是E提供的。
当E拓展为矩阵，而不是列项量时，F也会变成矩阵，此时矩阵乘法可以描述为，F的第一列是矩阵D的所有列，和E的第一列的线性组合。至于剩下的列，D和和F其他列组合就可以求出。

举例C = AB：

整个过程描述为，C的列是A的列的线性组合。

第三种同理，换成行线性组合，就是几个第几行+几个第几行：
C = AB：

注意行向量在左，列向量在右，位置不同代表的行列变换不同，所以第三种描述为C的行是B的行的线性组合。

第四种，AB = A的列xB的行的和：

看懂了。

第五种，分块，看懂了

2. Guass-Jordan消元

视频最后的增广矩阵[A | I]，可以抽象为矩阵乘法中的分块，左边块是矩阵A，右边块是单位矩阵I，默认A可逆。
把块A变成I的过程中，对A作的所有乘法和减法操作，可以合并为乘以一个初等矩阵E（消元矩阵，第2课有讲），也就是说 EA = I，显然E就是A的逆，那么 EI = E = A^-1。

因此增广矩阵的变换过程可以理解为 E[A | I] = [EA |E I] = [I | A^-1]。

也就解释了为什么把待求逆的矩阵A和他的单位矩阵I拼在一块[A | I]，把A转换成I时，I会变成A^-1。