麻省理工公开课：线性代数 第3课 乘法和逆矩阵

参考资料：

网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公开课：线性代数

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

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1、矩阵乘法

假设：$A$为$m\times n$矩阵，$B$为$n\times p$矩阵，$AB=C$，$C$为$m\times p$矩阵

（1）逐个元素$C_{ij}$求解公式

$$C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$$

（2）逐列求解$C_{:,j}$：$C$每一列$C_{:,j}$为$A$的列的线性组合，组合系数由$B$的每一列决定

（3）逐行求解$C_{i,:}$：$C$每一行$C_{i,:}$为$B$的行的线性组合，组合系数由$A$的每一行决定

（4）整列乘以整行：先分别将矩阵$A$的各列（$m\times 1$）与矩阵$B$的各行（$1\times p$）相乘获得$m\times p$的秩1矩阵，再求和

$$C=\sum_{k=1}^{n}A_{\color{red}:,k}B_{k,\color{red}:}$$

 （5）分块乘法

2、矩阵的逆（矩阵可逆或非奇异时存在）：

假设$A$为方阵，相应的逆矩阵为$A^{-1}$

（1）性质：$A^{-1}A=I=AA^{-1}$

（2）高斯-约旦消元法（求解逆矩阵：$A^{-1}[A~|~I]=[A^{-1}A~|~A^{-1}I]=[I~|~A^{-1}]$）

注：将左侧的矩阵$A$变换为单位矩阵$I$，则右侧的单位矩阵$I$会变为逆矩阵$A^{-1}$

（3）奇异矩阵（不可逆）：存在非零向量$\mathbf{x}$使得$A\mathbf{x}=0$，即奇异矩阵能够经过各列的非零线性组合获得零向量

（4）乘积的逆：$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$　　

（5）$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$　　//转置和逆的顺序能够互换