浅析差分及其推广（树上差分与广义差分）

差分数组及树上差分

所谓差分，就是记录当前的元素与以前元素逻辑上的差距。

　　最基础的用法是差的差分数组：

　　　记录当前位置的数与上一位置的数的差值。

　　　　　即b[i]=a[i]-a[i-1]     （b为差分数组，a为原数组）

　　　经过对差分数组求前缀和，能够求出原数组，即：

　　　　　　

　　　甚至能够求出前缀和：

　　　　

 　　　　（s为原数组，sum为原数组的前缀和数组，b为差分数组）

 　　能够O(1)优化区间加法：给原数组区间[l,r]的数都加上x，只要在b l处加x，b r+1 处减x。

　　　　　　有两种理解角度：

　　　　　　　　一、从差分定义出发，区间加x使区间左端点与它在原数组上一个数的差距加大了x、使区间右端点的后一个数与区间右端点的数的差距缩小了x，而没有改变区间中相邻2数的差距。

　　　　　　　　二、从差分数组的修改对原数组的影响入手：因为差分数组求前缀和得出原数组，当b l加x以后求前缀和，那么原数组自l及之后的数所有比b l加x以前多了x；同理当b r+1减x以后求前缀和，那么原数组自r+1及之后的数所有比b r+1减x以前少了x。总的一看，发现原数组l~r的部分就多了x，其他部分没有变化。

　　

　　广义差分：差分维护的是相邻元素间的逻辑关系，从而使能从初始状态（a[0]）经过差分数组表达的逻辑关系推出某个位置上a的值（从形式上看就是求前缀）。而这种差距不仅限于减法的差，还有异或等等。不过通常这种关系应可交换（即对顺序的要求不严格）且对于运算来讲有单位元（么元）（或通常化的话就是要能有互相抵消的方法）

　　　　见：洛谷P3943 星空——题解

　　树上差分：将差分搬到了树上。能够有两个差分方向：

　　　　一、记录当前节点与父节点的逻辑关系，查询时从上往下求前缀。（不经常使用，由于在每次路径修改时都要修改一下当前节点的全部子节点，时间、程序复杂度都很高，没有灵魂的差分（不能O(1)实现路径修改））

　　　　二、记录当前节点与它全部子节点总和的逻辑关系，查询时dfs求子树和（或是说以向上为正方向的求前缀）。（路径修改时只要修改一下路径起始点和lca（有时还有lca的父亲），有了灵魂的差分（可O(1)实现路径修改），很经常使用）

　　树上差分分为点差分和边差分，不论哪一种差分，差分数组的意义都是当前节点与它儿子节点总和的差距（这里为当前点（或点上的边）被路径通过次数与它的儿子节点（或其上的边）被路径通过次数总和的差，每次新增一个路径，即要求实现路径修改时，起始点与儿子们的差会多一，路径中中间的点与儿子们的差不变。点差分时，lca会比儿子们少1，lca的父亲会比儿子们少1；边差分时，lca会比儿子们少二。用这些逻辑关系从叶子向上推时，若当前点的儿子们的值都是对的，那它也是对的。边界状况就是叶子结点，显然是它的值对的，故可经过回溯推出整个树的值。这样对差分概念的理解有深刻了：差分的结构不知限于线性的数组）

　　　　（这里的基础讲解引用自大佬的博客）

　　　　前置知识：

　　　　　　须要知道的树的性质:

　　　　　　　　一、树上任意两个点的路径惟一.

　　　　　　　　二、任何子节点的父亲节点惟一.(能够认为根节点是没有父亲的)

　　　　　　树上差分的两种基本操做用到了LCA,不了解LCA的话能够去这里面学一下

　　　　思想

　　　　　　类比于差分数组,树上差分利用的思想也是前缀和思想.(在这里应该是子树和思想.

　　　　　　当咱们记录树上节点被通过的次数,记录某条边被通过的次数的时候.

　　　　　　若是每次强制dfs去标记的话,时间复杂度将高到爆炸!

　　　　　　所以咱们引入了树上差分!

　　　　　　与树上差分在一块儿的使用的是 DFS ，由于在回溯的时候,咱们能够计算出子树的大小.

　　　　　　(这个应该不用过多解释

　　　　定义数组

　　　　　　cnti​ 为节点i被通过的次数.

　　　　基本操做

　　　　　　1.点的差分

　　　　　　这个比较简单,因此先讲这个qwq

　　　　　　例如,咱们从s−−>t ,求这条路径上的点被通过的次数.

　　　　　　很明显的,咱们须要找到他们的LCA,(由于这个点是中转点啊qwq.

　　　　　　咱们须要让cnt s​++ ,让 cnt t​++，而让他们的cnt lca​−−，cnt faher(lca)​−− ;

　　　　　　可能读着会有些难理解,因此我准备了一个图qwq。绿色的数字表明通过次数.

　　　　　　

　　　　　　直接去标记的话,可能会T到不行,可是咱们如今在讲啥?树上差分啊!

　　　　　　根据刚刚所讲,咱们的标记应该是这样的↓

　　　　

　　　　　　考虑：咱们搜索到s,向上回溯.

　　　　　　下面以 u 表示当前节点, soni​ 表明i的儿子节点.(若是一些 son 不给出下标,即表明当前节点 u 的儿子

　　　　　　每一个 u 统计它的子树大小,顺着路径标起来.(即cnt u​+=cnt son​ )

　　　　　　咱们会发现第一次从s回溯到它们的LCA时候,cnt LCA​+=cnt[son_LCA​]

　　　　　　cnt_LCA​=0 ! "不是LCA会被通过一次嘛,为何是0!"

　　　　　　别急,咱们继续搜另外一边.

　　　　　　继续：咱们搜索到t,向上回溯.

　　　　　　依旧统计每一个u的子树大小 cnt u​+=cnt son​

　　　　　　再度回到 LCA 依旧 是 cnt_LCA​+=cnt[son_LCA​]

　　　　　　这个时候cnt_LCA​=1 这就达到了咱们要的效果 (是否是特别优秀 ( • ̀ω•́ )✧

　　　　　　担心： 万一咱们再从 LCA 向上回溯的时候使得其父亲节点的子树和为1怎么办?

　　　　　　这样咱们不就使得其父亲节点被通过了一次? 所以咱们须要在cnt faher(lca)​−−

　　　　　　这样就达到了标记咱们路径上的点的要求! 厉不厉害 (oﾟ▽ﾟ)o tql!!

　　　　　　2.边的差分

　　　　　　既然咱们已经get到了点的差分,那么咱们边的差分也是很简单啦!

　　　　　　机房某dalao:"这不和点差分标记方式同样吗?不就是把边塞给点吗? 看我切了它!"

　　　　　　为这位大佬默哀一下 qwq.

　　　　　　的确,咱们对边进行差分须要把边塞给点,可是,这里的标记并非同点差分同样.

　　　　　　PS: 把边塞给点的话,是塞给这条边所连的深度较深的节点. (即塞给儿子节点

　　　　　　先请你们思考 5s ……

　　　　　　好,时间到,有没有想到如何标记?(只要画图模拟一下就能够啦! 上图! 红色边为须要通过的边,绿色的数字表明通过次数

　　　　　　正常的话,咱们的图是这样的.↓

　　　　

　　　　　　可是因为咱们把边塞给了点,所以咱们的图应该是这样的↓

　　　　

　　　　　　可是根据咱们点差分的标记方式来看的话显然是行不通的,

　　　　　　不然atherLCA​−−>LCA 这一路径也会被标记为通过了1次

　　　　　　所以考虑如何标记咱们的点,来达到通过红色边的状况

　　　　　　聪明的你必定想到了,这样来标记

　　　　　　cnts​++ ，cntt​++ ，cnt_LCA​−=2

　　　　　　这样回溯的话,咱们便可只通过图中红色边啦!(这里就不详细解释啦,原理其实相同 qwq

　　　　　　把边塞入点中的代码这样写.qwq(顺便在搜索的时候处理便可

 1 前置知识  2 须要知道的树的性质:  3 
 4 树上任意两个点的路径惟一.  5 
 6 任何子节点的父亲节点惟一.(能够认为根节点是没有父亲的)  7 
 8 若是你认为你知道了这些你就能秒切这些树上差分的题,那你就过低估这个东西了!
 9 
 10 树上差分的两种基本操做用到了LCA,不了解LCA的话能够去这里面学一下  11 
 12 思想  13 类比于差分数组,树上差分利用的思想也是前缀和思想.(在这里应该是子树和思想.  14 
 15 当咱们记录树上节点被通过的次数,记录某条边被通过的次数的时候.  16 
 17 若是每次强制dfs去标记的话,时间复杂度将高到爆炸!
 18 
 19 所以咱们引入了树上差分!
 20 
 21 与树上差分在一块儿的使用的是 DFSDFS ，由于在回溯的时候,咱们能够计算出子树的大小.  22 
 23 (这个应该不用过多解释  24 
 25 定义数组  26 cnt_icnt  27 i  28 ​ 为节点i被通过的次数.  29 
 30 基本操做  31 1.点的差分  32 这个比较简单,因此先讲这个qwq  33 
 34 例如,咱们从 s-->ts−−>t ,求这条路径上的点被通过的次数.  35 
 36 很明显的,咱们须要找到他们的LCA,(由于这个点是中转点啊qwq.  37 
 38 咱们须要让 cnt_s++cnt  39 s  40 ​     ++ ,让 cnt_t++cnt  41 t  42 ​     ++ ，而让他们的 cnt_{lca}--cnt  43 lca  44 ​     −− ， cnt_{faher(lca)}--cnt  45 faher(lca)  46 ​ −− ;  47 
 48 可能读着会有些难理解,因此我准备了一个图qwq  49 
 50 绿色的数字表明通过次数.  51 
 52 
 53 
 54 直接去标记的话,可能会T到不行,可是咱们如今在讲啥?树上差分啊!
 55 
 56 根据刚刚所讲,咱们的标记应该是这样的↓  57 
 58 
 59 
 60 考虑：咱们搜索到s,向上回溯.  61 
 62 下面以 uu 表示当前节点, son_ison  63 i  64 ​ 表明i的儿子节点.(若是一些 sonson 不给出下标,即表明当前节点 uu 的儿子  65 
 66 每一个 uu 统计它的子树大小,顺着路径标起来.(即 cnt_u+=cnt_{son}cnt  67 u  68 ​     +=cnt  69 son  70 ​ )  71 
 72 咱们会发现第一次从s回溯到它们的LCA时候, cnt_{LCA}+=cnt[son_{LCA}]cnt  73 LCA  74 ​     +=cnt[son  75 LCA  76 ​ ]  77 
 78 cnt_{LCA}=0cnt  79 LCA  80 ​     =0 ! "不是LCA会被通过一次嘛,为何是0!"
 81 
 82 别急,咱们继续搜另外一边.  83 
 84 继续：咱们搜索到t,向上回溯.  85 
 86 依旧统计每一个u的子树大小 cnt_u+=cnt_{son}cnt  87 u  88 ​     +=cnt  89 son  90 ​  91 
 92 再度回到 LCALCA 依旧 是 cnt_{LCA}+=cnt[son_{LCA}]cnt  93 LCA  94 ​     +=cnt[son  95 LCA  96 ​ ]  97 
 98 这个时候 cnt_{LCA}=1cnt  99 LCA 100 ​     =1 这就达到了咱们要的效果 (是否是特别优秀 ( • ̀ω•́ )✧ 101 
102 担心： 万一咱们再从 LCALCA 向上回溯的时候使得其父亲节点的子树和为1怎么办?
103 
104 这样咱们不就使得其父亲节点被通过了一次? 所以咱们须要在 cnt_{faher(lca)}--cnt 105 faher(lca) 106 ​ −− 107 
108 这样就达到了标记咱们路径上的点的要求! 厉不厉害 (oﾟ▽ﾟ)o tql!!
109 
110 这样点的差分应该没什么问题了吧 ,有问题能够问个人哦 qwq (若是我会的话.) 111 
112 2.边的差分 113 既然咱们已经get到了点的差分,那么咱们边的差分也是很简单啦!
114 
115 机房某dalao:"这不和点差分标记方式同样吗?不就是把边塞给点吗? 看我切了它!"
116 
117 为这位大佬默哀一下 qwq. 118 
119 的确,咱们对边进行差分须要把边塞给点,可是,这里的标记并非同点差分同样. 120 
121 PS: 把边塞给点的话,是塞给这条边所连的深度较深的节点. (即塞给儿子节点 122 
123 先请你们思考 5s5s 124 
125 \vdots⋮ 126 
127 \vdots⋮ 128 
129 \vdots⋮ 130 
131 好,时间到,有没有想到如何标记?(只要画图模拟一下就能够啦! 上图!
132 
133 红色边为须要通过的边,绿色的数字表明通过次数 134 
135 正常的话,咱们的图是这样的.↓ 136 
137 
138 
139 可是因为咱们把边塞给了点,所以咱们的图应该是这样的↓ 140 
141 
142 
143 可是根据咱们点差分的标记方式来看的话显然是行不通的, 144 
145 这样的话咱们会通过 father_{LCA}--> LCAfather 146 LCA 147 ​     −−>LCA 这一路径. 148 
149 所以考虑如何标记咱们的点,来达到通过红色边的状况 150 
151 聪明的你必定想到了,这样来标记 152 
153 cnt_s++cnt 154 s 155 ​     ++ ， cnt_t ++cnt 156 t 157 ​     ++ ， cnt_{LCA}-=2cnt 158 LCA 159 ​     −=2
160 
161 这样回溯的话,咱们便可只通过图中红色边啦!(这里就不详细解释啦,原理其实相同 qwq 162 
163 把边塞入点中的代码这样写.qwq(顺便在搜索的时候处理便可 164 
165 void dfs(int u,int fa,int dis) 166 { 167     //u为当前节点,fa为当前节点的父亲节点,dis为从fa通向u的边的边权.
168     depth[u]=depth[fa]+1; 169     f[u][0]=fa;//相信写过倍增LCA的人都能看懂.
170     init[u]=dis;//这里是将边权赋给点.
171     for(int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];//预处理倍增数组.
172     for(int i=head[u];i;i=edge[i].u) 173  { 174         if(edge[i].v==fa)continue; 175  dfs(edge[i].v,u,edge[i].w); 176  } 177     //这个每一个人的写法不同吧. 178     //因此根据每一个人的代码风格不同,码出来的也不同
179 }

代码实现

　　最后总结一下：

　　　　差分维护元素与它前面紧邻的一个或多个元素的逻辑关系，并且通常均可从边界由差分维护的逻辑关系推出每个元素。（结构不仅局限于线性，逻辑关系不仅局限于减法的差关系、异或等）

　　　　（应用）差分常常用于优化修改相邻元素的操做，并且每每优化的效果很赞（直接到O（1）），但要O（n）处理出差分的前缀和后才能查询。适用于优化一批大量的全是修改连续元素的修改操做。离线算法。常搭配前缀和，对于先修改再询问的题来讲，差分O(1)处理修改，O(n)处理出前缀和，再用前缀和O(1)处理询问。

　　　　树上差分基本都会有LCA，且树上差分经常用于求通过某点或边路径的条数。