两个有序数组求中位数的O(logn)算法

好好地写写这个题目的解法吧。

因为复杂度是logn的，因此考虑要用到二分。

首先，假设两个数组的长度都是奇数，并且大于1。令mid 为 (1 + n) / 2，也就是中间的那个元素的下标。考虑一下X[mid]和Y[mid]的大小关系：

（1） X[mid] > Y[mid]
这种状况下，咱们能够想，当咱们把两个数组合并排序后，X[mid]的排名（排名从1开始）确定是大于n的，由于咱们能够肯定这些元素必定小于等于X[mid]：X[1...mid - 1]，Y[1...mid - 1] ，Y[mid]。
同理，能够分析出来，Y[mid]的排名确定是小于n + 1的。引入一个定理，若是咱们同时杀掉X[mid]后面的任意k个元素和Y[mid]前面的任意k个元素（k > 0），那么，获得的新的两个数组的中位数，与原数组，仍然是同样的。这个定理画个图不难证实。因此，原问题就被转化为一个更小的子问题了。

（2）X[mid] == Y[mid]
却是这种状况，我想了好久，到底应该怎么处理。后来发现，本身犯傻了。若是X[mid]等于Y[mid]的话，考虑一下咱们排序的过程。首先，咱们能够将X[1...mid-1]和Y[1...mid-1]合并排序获得一个长度为2*（mid-1）的新数组P，而后咱们把X[mid + 1...n]和Y[mid + 1...n]合并排序，获得一个长度也是2*（mid-1）的新数组R，最后，咱们把X[mid] 和 Y[mid]插在中间，就获得最后的有序数组了：P，X[mid]，Y[mid]，R
也就是说，当X[mid] == Y[mid]时，你能够立刻肯定X[mid]和Y[mid]就是你要找的两个中位数！

（3）X[mid] < Y[mid]
这种状况和状况（1）对称，不累赘了。


而后，假设两个数组的长度都是偶数，并且大于1。令mid为（1+n）/ 2，也就是中间的两个元素里左边的那个元素的下标。考虑一下X[mid] 和 Y[mid + 1]的大小关系
（1）X[mid] > Y[mid]
使用与上面奇数长度的状况的相似的思路，咱们能够知道，X[mid]的排名在一半之后，而Y[mid]的排名在一半之后，因此，咱们也能够用一样的思路来缩小问题的规模。
（2） X[mid] == Y[mid]
一样的思路，因此一样的结论。当它们相等的时候，你是能够立刻肯定它们就是你要找的两个中位数。
（3）X[mid] < Y[mid]
对称，同样的作法。