洛谷 P3704 SDOI2017 数字表格

题意：

给定两个整数 \(n, m\)，求：

\[\prod_{i = 1} ^ n \prod_{j = 1} ^ m \operatorname{Fib}_{\gcd\left(n, m\right)} \]

其中 \(\operatorname{Fib}_n\) 表示斐波那契数列的第 \(n\) 项，斐波那契数列按照以下方式递归定义：

\[\begin{equation} \operatorname{Fib}_n = \begin{cases} 1 & n = 1\ \text{or}\ n = 2\\ \operatorname{Fib}_{n - 2} + \operatorname{Fib}_{n - 1} & \text{otherwise}\\ \end{cases} \end{equation} \]

正文

开始推导！

老套路，先枚举 \(\gcd\left(i, j\right)\)， 设 \(d = \gcd\left( i, j \right)\)。

则考虑对于每一个可行的 \(d\)，对应的 \(\operatorname{Fib}_d\) 被乘了多少次。

显然是：

\[\sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 1} ^ m [\gcd\left(i, j\right) = d]\\ = \sum_{i = 1} ^ {\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j = 1} ^ {\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [\gcd\left(i, j\right) = 1]\\ = \sum_{i = 1} ^ {\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j = 1} ^ {\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{t|\gcd\left(i, j\right)} \mu \left(t\right)\\ = \sum_{t = 1} ^ {\lfloor\frac{\min\{n, m\}}{d}\rfloor} \mu \left(t\right) \cdot \lfloor\frac{n}{dt}\rfloor \cdot \lfloor\frac{m}{dt}\rfloor \]

次。

即：

\[\text{原式} = \prod_{d = 1} ^ {\min\{n, m\}} \operatorname{Fib}_d^{(\sum_{t = 1} ^ {\lfloor\frac{\min\{n, m\}}{d}\rfloor} \mu \left(t\right) \cdot \lfloor\frac{n}{dt}\rfloor \cdot \lfloor\frac{m}{dt}\rfloor)} \]

换元。设 \(T = dt\)，则有：

\[\text{原式} = \prod_{d = 1} ^ {\min\{n, m\}} \operatorname{Fib}_d^{(\sum_{t = 1} ^ {\lfloor\frac{\min\{n, m\}}{d}\rfloor} \mu \left(\frac{T}{d}\right) \cdot \lfloor\frac{n}{T}\rfloor \cdot \lfloor\frac{m}{T}\rfloor)}\\ = \prod_{d = 1} ^ {\min\{n, m\}} (\prod_{t = 1} ^ {\lfloor\frac{\min\{n, m\}}{d}\rfloor} \operatorname{Fib}_d^{\mu \left(\frac{T}{d}\right)}) ^ {\lfloor\frac{n}{T}\rfloor \cdot \lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\\ = \prod_{T = 1} ^ {\min\{n, m\}} (\prod_{d | T} \operatorname{Fib}_d ^ {\mu \left(\frac{T}{d}\right)})^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor \cdot \lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\]

对于每一个 \(T\), 预处理：

\[\prod_{d | T} \operatorname{Fib}_d ^ {\mu \left(\frac{T}{d}\right)} \]

而后整除分块求解便可。