Stata系列-非平稳时间序列
1.非平稳序列
如时间序列不平稳，称为“非平稳序列” ，包括如下三种情形：函数
- 称平稳的时间序列为“零阶单整”，记为 I(0)
- 若是时间序列的一阶差分为平稳过程，称为“一阶单整”，记为 I(1)， 也称为“单位根过程”。
- 若是时间序列的 d 阶差分为平稳过程， 称为“d 阶单整，记为 I(d)
对于 I(0)序列，因为它是平稳的，故长期而言有回到其指望值的趋势。这种性质称为“均值回复” 。3d
非平稳的 I(1)序列会“处处乱跑” ，没有上述性质。好比，随机游走的方差愈来愈大，趋向无穷。blog
I(0)序列对过去行为只有有限记忆，即发生在过去的扰动项对将来的影响随时间而衰减。io
I(1)序列则对过去行为有无限长的记忆，即任何过去的冲击都将永久地改变将来的整个序列。table
2.ARMA的平稳性
什么状况下， ARMA(p, q)才平稳？
MA(q)是平稳的，由于它是有限个白噪声的线性组合。ARMA(p, q)的平稳性仅取决于 AR(p)的部分class
稳定解：特征方程的全部解须落在复平面上的单位圆以外。若是特征方程的某个根落在单位圆以内，则为爆炸式增加的非平稳过程。
若是某个根正好落在单位圆之上，则称为“单位根” ，好比随机游走的情形。效率
3.VAR的平稳性
AR(p)的平稳性条件可推广到多维 VAR(p)的情形变量
4.单位根
对于 AR(1)模型，通常认为不可能出现自回归系数大于1的情形；不然任何对经济的扰动都将被无限放大。
一般只担忧单位根的情形，即β1=1 。
若是时间序列存在单位根，为非平稳序列，可能带来如下问题:bfc
- 自回归系数的估计量不服从渐近正态分布， t 检验失效
- 两个相互独立的单位根变量可能出现伪相关或伪回归
如何避免伪相关或伪回归？方法
- 先对 I(1)变量做差分，获得平稳 I(0)序列，再做回归。
- “协整”。须先检验是否存在单位根。
单位根检验
- DF 检验使用一阶自回归来检验单位根，要求扰动项为白噪声，故扰动项无自相关。
- 若是扰动项存在自相关，可引入即滞后差分项，以保证扰动项为白噪声。此t 统计量称为“Augmented Dickey-Fuller 统计量” (简记 ADF)
关于常数项与时间趋势项
ADF 检验是否应带常数项或时间趋势项， 首先应从理论上考虑。好比，考察 GDP 对数是否有单位根，通常应包含时间趋势项；而利率、汇率等不该有时间趋势项。也可经过画时间序列图大体判断有无长期趋势。如无从判断，为稳健起见，可把各类状况都进行检验。
关于滞后阶数 p 的肯定
单整阶数肯定
*导入数据集
use nelson_plosser.dta, clear
*画图
tsline lrgnp lun if year >= 1890, lp(dash) xlabel(1890(10)1970)
实际 GNP 对数(虚线)有明显的上升趋势；且较为光滑，当期值强烈依赖于上期值，自回归系数接近于 1，可能为单位根过程。失业率对数看不出有什么趋势，较不光滑，自回归系数明显小于 1，不太可能为单位根过程。
情形 2，虽然真实模型不含漂移项(无常数项)，但在 ADF 检验的回归方程中依然包括了常数项。
先考虑带常数项和时间趋势项：
*DF检验
dfuller lrgnp, trend
因为 DF 统计量 Z(t)为–2.026 > –3.489(左边单侧检验)， 故可在5%的水平上接受“存在单位根”的原假设。
考虑到扰动项可能存在自相关，使用更高阶的ADF检验：
ADF检验
di 12(62/100)^(1/4)
dfuller lrgnp, lags(9) trend reg
如下是p hat =10进行的ADF检验：
时间趋势项(_trend)很显著( p值为 0.017)，但最后一阶滞后项L9D.)在 5%的水平上并不显著。依次去p=9,...3,进行ADF检验，会发现最后一阶滞后项仍不显著
接下来令p hat = 2有：
*ADF检验
dfuller lrgnp, lags(1) trend reg
最后一阶滞后项(LD.)在 1%的水平上显著地不等于 0。ADF 统计量 Z(t)为–2.994 > –3.490，没法在 5%的水平上拒绝单位根的原假设。可认为实际 GNP 对数 lrgnp 含有单位根。
检验lrgnp的一阶差分是否为平稳过程：
*画图
tsline d.lrgnp if year >= 1890, xlabel(1890(10)1970)
由上图可知d.lrgnp 已不存在时间趋势，检验时不带时间趋势项
*DF检验
dfuller d.lrgnp
ADF 统计量 Z(t)为–5.322 < –3.566，可在 1%的水平上拒绝单位根的原假设，认为lrgnp 为平稳过程。
由此可知， lrgnp 为 I(1)过程
5.协整
对于单位根变量，传统的处理方法是先差分，而后对平稳序列建模。但差分后变量的经济含义与原序列并不相同，而有时仍但愿用原序列进行回归。若是多个单位根变量之间因为某种经济力量而存在“长期均衡关系” ，则可能进行这种回归。例如：短时间利率与长期利率可能都是单位根过程，且两者的走势很类似。
基本思想：若是多个单位根序列拥有“共同的随机趋势”， 则可对这些变量做适当的线性组合而消去此随机趋势，从而获得平稳序列。
*导入数据集
use macro_3e.dta, clear
*设定时间序列
tsset time
*画图
tsline fygm3 fygt1, lp(dash)
一组 I(1)变量之间协整关系的个数称为“协整秩” (cointegrationrank)，即线性无关的协整向量的个数
如何判断一组 I(1)变量间是否存在协整关系？
首先，这些变量须在理论上可能存在长期均衡关系；不然，协整分析没有意义。
其次，若是只有两个变量，可直接画图，看两者时间趋势。但此法不严格，也不适用于两个以上的变量。
Engle and Granger (1987)提出EG-ADF 检验
EG-ADF 法的缺点是，不能处理存在多个协整关系的情形。
因为 EG-ADF 法分两步进行，第一步估计的偏差被带到第二步中，故不是最有效率的方法。比 EG-ADF 法更有效率的方法是 MLE，同时估计全部参数。
协整分析通常主要关注长期均衡关系(协整关系)，不太关心短时间调整过程。
*导入数据集
use mpyr.dta, clear
*画图
tsline logmr logy r, lp(solid dash shortdash) xlabel(1900(10)1990)
从图中能够得知：
- 实际货币对数与收入对数的时间走势较接近，名义利率彷佛与实际货币对数反向变更。 (log mr, log y, r)可能存在长期均衡关系，即为协整系统
- 三个变量彷佛都存在时间趋势
第一步肯定该系统的协整秩，即究竟有多少个线性无关的协整关系
*检验VAR滞后阶数
varsoc logmr logy r
AIC选择滞后二阶，BIC选择滞后一阶，为了保守起见，选择滞后二阶
*协整秩检验
vecrank logmr logy r, lags(2) trend(trend) max
- 迹检验代表（打星号者），只有一个线性无关的协整向量
- 最大特征值检验也代表，可在 5%的水平上拒绝“协整秩为 0”的原假设，但没法拒绝“协整秩为 1”的原假设(14.8985 < 16.87)。
所以，选择协整秩为1
第二步，使用MLE方法估计该协整系统的向量偏差修正模型（VECM）
*VECM
vec logmr logy r, lags(2) rank(1)
以上为VECM和协整方程，主要对货币需求函数感兴趣，即协整方程所表明的长期均衡关系。
第三步，对模型的假设进行诊断性检验，主要包括残差有无自相关，模型的平稳性
*残差的自相关检验（LM）
veclmar
可接受“无自相关”的原假设
*VECM系统稳定性
vecstable, graph
除了 VECM 模型自己所假设的单位根以外，伴随矩阵的全部特征值均落在单位圆以内，故是稳定系统。