岭回归——减小过拟合问题

什么是过拟合？
在训练假设函数模型h时，为了让假设函数总能很好的拟合样本特征对应的真实值y，从而使得咱们所训练的假设函数缺少泛化到新数据样本能力。

怎样解决过拟合

过拟合会在变量过多同时过少的训练时发生，咱们有两个选择，一是减小特征的数量，二是正则化，今天咱们来重点来讨论正则化，它经过设置惩罚项让参数θ足够小，要让咱们的代价函数足够小，就要让θ足够小，因为θ是特征项前面的系数，这样就使特征项趋近于零。岭回归与Lasso就是经过在代价函数后增长正则化项。

多元线性回归损失函数：

岭回归回归代价函数：

岭回归的原理

咱们从矩阵的角度来看。机器学习的核心在在于求解出θ使J(θ)最小。怎样找到这个θ，经典的作法是使用梯度降低经过屡次迭代收敛到全局最小值，咱们也能够用标准方程法直接一次性求解θ的最优值。当回归变量X不是列满秩时， XX'的行列式接近于0，即接近于奇异，也就是某些列之间的线性相关性比较大时，传统的最小二乘法就缺少稳定性，模型的可解释性下降。所以，为了解决这个问题，须要正则化删除一些相关性较强特征。

标准方程法：

加上正则化后：

这里，λ>=0是控制收缩量的复杂度参数：λ的值越大，收缩量越大，共线性的影响愈来愈小。在不断增大惩罚函数系数的过程当中，画出估计参数0（λ）的变化状况，即为岭迹。经过岭迹的形状来判断咱们是否要剔除掉该特征（例如：岭迹波动很大，说明该变量参数有共线性）。

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步骤：1.首先要对数据进行一些预处理，尽可能把保持全部特征在一个范围内，使用特征缩放和均值归一化来处理特征值是颇有必要的，不然，不一样特征的特征值大小是没有比较性的。
2.其次构建惩罚函数，针对不一样的λ，画出岭迹图。
3.根据岭迹图，选择要剔除那些特征。

一个sckit-learn的example

将岭系数绘制为正则化的函数
本例显示了共线性对估计量系数的影响。岭回归是本例中使用的估计量。 每种颜色表示系数矢量的不一样特征，而且这是做为正则化参数的函数显示的。这个例子还显示了将岭回归应用于高度病态的基质的有用性。对于这样的矩阵，目标变量的轻微变化会致使计算权重的巨大差别。在这种状况下，设置必定的正则化（λ）来减小这种变化（噪音）是有用的。当λ很大时，正则化效应支配平方损失函数，而且系数趋于零。在路径的末尾，因为λ趋于零，而且解决方案倾向于普通最小二乘，因此系数显示出大的振荡。 在实践中，须要调整λ以使二者之间保持平衡。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import linear_model

#X为一个10*10的矩阵
X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])
y = np.ones(10)

##############################################################################
#设置不一样的lambda和参数

n_lambda = 200
lambda = np.logspace(-10, -2, n_lambda)

coefs = []
for a in lambda:
    ridge = linear_model.Ridge(lambda=a, fit_intercept=False)
    ridge.fit(X, y)
    coefs.append(ridge.coef_)

# #############################################################################
#显示绘制结果

ax = plt.gca()

ax.plot(lambda, coefs)
ax.set_xscale('log')
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[::-1])  # reverse axis
plt.xlabel(r'$\lambda$')
plt.ylabel('weights')
plt.title('Ridge coefficients as a function of the regularization')
plt.axis('tight')
plt.show()

结果：

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