博弈论进阶之Anti-SG游戏与SJ定理

前言

在上一节中，咱们初步了解了一下SG函数与SG定理。

今天咱们来分析一下SG游戏的变式——Anti-SG游戏以及它所对应的SG定理

首先从最基本的Anti-Nim游戏开始

Anti-Nim游戏是这样的

有两个顶尖聪明的人在玩游戏，游戏规则是这样的：
有\(n\)堆石子，两我的能够从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)，拿走最后一个石子的人失败。问谁会胜利

博弈分析

Anti-Nim游戏与Nim游戏惟一的不一样就是两人的胜利条件发生了改变，不过这并不影响咱们对结论的推导

对于这个游戏，先手必胜有两种状况

• 当每堆石子都只有一个，且游戏的SG值为\(0\)
• 至少一堆石子多于一个，且游戏的SG值不为\(0\)

粗略的证实一下

游戏大概能够被分为\(3\)种状况

• 每堆只有一个石子
• 当异或值为\(0\)时，先手必胜
• 当异或值不为\(0\)时，先手必败
• 只有一堆石子数大于1，先手必胜

通过分析不难发现，先手能够对数量大于1的那堆石子下手脚，从而构造出后手必败的状态

• 存在至少两堆石子数大于1
• 当异或和为0时，先手必败
• 当异或和不为0时，先手必败

这一步的结论与Nim游戏很是类似，同时它们的证实也很是类似，大概就是从异或和为\(0\)的状态不管怎样都会变为异或和不为\(0\)的状态，反过来从异或和不为\(0\)的状态总有一步能到达异或和为\(0\)的状态

推广

按照咱们学习SG函数的思路，咱们是否能够把Anti-Nim游戏推广开来呢？

答案是确定的

定义Anti-SG游戏

• Anti-SG游戏规定：决策集合为空的游戏者赢
• 其他规则与SG游戏相同

同时咱们定义SJ定理

对于Anti-SG游戏，若是咱们规定当局面中全部单一游戏的SG值为0时，游戏结束，则先手必胜当且仅当

• 游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数值大于1

• 游戏的SG函数为0且没有某个单一游戏的SG函数大于1

证实与SG函数相似，

不追求完美的能够从DAG上概括

追求完美的能够用模仿棋证实出该游戏的等价性而后推出该游戏是可数集合而后经过计算推出在模\(2\)意义下线性空间的基能够为\(nim(0),nim(1)\)最后概括证实一个后继是若干Anti-nim游戏的游戏等价于\(mex(S)\)

例题

按照whx老师的说法

Anti-SG不怎么重要，我至今为止就作到过一道题

那道题在这儿

题解