博弈论进阶之Multi-SG

时间 2019-11-06

标签博弈论进阶 multi 繁體版

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Multi-Nim

从最简单的Nim模型开始html

它的定义是这样的spa

有\(n\)堆石子，两我的能够从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量很多于\(2\)石子分为两堆不为空的石子，无法拿的人失败。问谁会胜利code

这个问题的本质仍是Nim游戏，能够利用SG定理来解释htm

经过观察不难不发现，操做一与普通的Nim游戏等价blog

操做二其实是将一个游戏分解为两个游戏，根据SG定理，咱们能够经过异或运算把两个游戏链接到一块儿，做为一个后继状态游戏

煮个栗子get

SG(3)的后继状态有\(\{ (0),(1),(2),(1,2) \}\)他们的SG值分别为\(\{ 0,1,2,3 \}\)，所以\(SG(3)=mex\{ 0,1,2,3 \}=4\)class

另外这种游戏还有一个很是神奇的性质方法

\[SG\left( x\right) =\begin{cases}x-1\left( x\mod4=0\right) \\ x\left( x\mod4=1 \lor 2\right) \\ x+1\left( x\mod4=3\right) \end{cases}\]im

而后把这个结论背过就好啦233

根据上面的游戏，咱们定义Multi-SG游戏

注意在这里要分清楚后继与多个单一游戏

对于一个状态来讲，不一样的划分方法会产生多个不一样的后继，而在一个后继中可能含有多个独立的游戏

一个后继状态的SG值即为后继状态中独立游戏的异或和

该状态的SG值即为后继状态的SG值中未出现过的最小值

难度跨度好大啊QWQ。。

直接放题解吧