机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

时间  2019-12-05 标签 机器 学习 正则 l1 l2 直观 理解

正则化（Regularization）

机器学习中几乎均可以看到损失函数后面会添加一个额外项，经常使用的额外项通常有两种，通常英文称做 ℓ 1 \ell_1 -norm 和 ℓ 2 \ell_2 -norm，中文称做 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。html

L1正则化和L2正则化能够看作是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数作一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫作Lasso回归，使用L2正则化的模型叫作Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项 α ∣ ∣ w ∣ ∣ 1 \alpha||w||_1 即为L1正则化项。git

lasso regression

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项 α ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 2 \alpha||w||_2^2 即为L2正则化项。web

ridge regression

通常回归分析中回归 w w 表示特征的系数，从上式能够看到正则化项是对系数作了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明以下：算法

  • L1正则化是指权值向量 w w 中各个元素的绝对值之和，一般表示为 ∣ ∣ w ∣ ∣ 1 ||w||_1
  • L2正则化是指权值向量 w w 中各个元素的平方和而后再求平方根（能够看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），一般表示为 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ||w||_2

通常都会在正则化项以前添加一个系数，Python中用 α \alpha 表示，一些文章也用 λ \lambda 表示。这个系数须要用户指定。app

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的做用，这些表述能够在不少文章中找到。机器学习

  • L1正则化能够产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，能够用于特征选择
  • L2正则化能够防止模型过拟合（overfitting）；必定程度上，L1也能够防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而能够用于特征选择。为何要生成一个稀疏矩阵？ide

稀疏矩阵指的是不少元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即获得的线性回归模型的大部分系数都是0. 一般机器学习中特征数量不少，例如文本处理时，若是将一个词组（term）做为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，可是若是代入这些特征获得的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（由于它们前面的系数是0或者是很小的值，即便去掉对模型也没有什么影响），此时咱们就能够只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。svg

L1和L2正则化的直观理解

这部份内容将解释为何L1正则化能够产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为何L2正则化能够防止过拟合。函数

##L1正则化和特征选择
假设有以下带L1正则化的损失函数：
(1) J = J 0 + α ∑ w ∣ w ∣ J = J_0 + \alpha \sum_w{|w|} \tag{1}
其中 J 0 J_0 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， α \alpha 是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和， J J 是带有绝对值符号的函数，所以 J J 是不彻底可微的。机器学习的任务就是要经过一些方法（好比梯度降低）求出损失函数的最小值。当咱们在原始损失函数 J 0 J_0 后添加L1正则化项时，至关于对 J 0 J_0 作了一个约束。令 L = α ∑ w ∣ w ∣ L = \alpha \sum_w{|w|} ，则 J = J 0 + L J = J_0 + L ，此时咱们的任务变成在 L L 约束下求出 J 0 J_0 取最小值的解。考虑二维的状况，即只有两个权值 w 1 w^1 和 w 2 w^2 ，此时 L = ∣ w 1 ∣ + ∣ w 2 ∣ L = |w^1|+|w^2| 对于梯度降低法，求解 J 0 J_0 的过程能够画出等值线，同时L1正则化的函数 L L 也能够在 w 1 w 2 w^1w^2 的二维平面上画出来。以下图：学习

@图1 L1正则化
图1 L1正则化

图中等值线是 J 0 J_0 的等值线，黑色方形是 L L 函数的图形。在图中，当 J 0 J_0 等值线与 L L 图形首次相交的地方就是最优解。上图中 J 0 J_0 与 L L 在 L L 的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是 ( w 1 , w 2 ) = ( 0 , w ) (w^1, w^2) = (0, w) 。能够直观想象，由于 L L 函数有不少『突出的角』（二维状况下四个，多维状况下更多）， J 0 J_0 与这些角接触的机率会远大于与 L L 其它部位接触的机率，而在这些角上，会有不少权值等于0，这就是为何L1正则化能够产生稀疏模型，进而能够用于特征选择。

而正则化前面的系数 α \alpha ，能够控制 L L 图形的大小。 α \alpha 越小， L L 的图形越大（上图中的黑色方框）； α \alpha 越大， L L 的图形就越小，能够小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优势的值 ( w 1 , w 2 ) = ( 0 , w ) (w1,w2)=(0,w) 中的 w w 能够取到很小的值。

相似，假设有以下带L2正则化的损失函数：
(2) J = J 0 + α ∑ w w 2 J = J_0 + \alpha \sum_w{w^2} \tag{2}
一样能够画出他们在二维平面上的图形，以下：

@图2 L2正则化
图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。所以 J 0 J_0 与 L L 相交时使得 w 1 w^1 或 w 2 w^2 等于零的机率小了许多，这就是为何L2正则化不具备稀疏性的缘由。

L2正则化和过拟合

拟合过程当中一般都倾向于让权值尽量小，最后构造一个全部参数都比较小的模型。由于通常认为参数值小的模型比较简单，能适应不一样的数据集，也在必定程度上避免了过拟合现象。能够设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果形成很大的影响；但若是参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果形成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为何L2正则化能够得到值很小的参数？

以线性回归中的梯度降低法为例。假设要求的参数为 θ \theta ， h θ ( x ) h_\theta(x) 是咱们的假设函数。线性回归通常使用平方差损失函数。单个样本的平方差是 ( h θ ( x ) − y ) 2 (h_\theta(x) - y)^2 ，若是考虑全部样本，损失函数是对每一个样本的平方差求和，假设有 m m 个样本，线性回归的代价函数以下，为了后续处理方便，乘以一个常数 1 2 m \frac{1}{2m} ：

(3) J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \tag{3}

在梯度降低算法中，须要先对参数求导，获得梯度。梯度自己是上升最快的方向，为了让损失尽量小，沿梯度的负方向更新参数便可。

对于单个样本，先对某个参数 θ j \theta_j 求导：

(3.1) ∂ ∂ θ j J ( θ ) = 1 m ( h θ ( x ) − y ) ∂ ∂ θ j h θ ( x ) \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} (h_\theta(x) - y) \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x) \tag{3.1}

注意到 h θ ( x ) h_\theta(x) 的表达式是 h θ ( x ) = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + ⋯ + θ n x n h_\theta(x)=\theta_0 x_0 + \theta_1 x_1 + \dots + \theta_n x_n . 单个样本对某个参数 θ j \theta_j 求导， ∂ ∂ θ j h θ ( x ) = x j \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x) = x_j . 最终(3.1)式结果以下：

(3.2) ∂ ∂ θ j J ( θ ) = 1 m ( h θ ( x ) − y ) x j \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} (h_\theta(x) - y) x_j \tag{3.2}

在考虑全部样本的状况，将每一个样本对 θ j \theta_j 的导数求和便可，获得下式：

(3.3) ∂ ∂ θ j J ( θ ) = 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)} \tag{3.3}

梯度降低算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，所以在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数 α \alpha （即学习率），获得最终用于迭代计算参数 θ j \theta_j 的形式：

(4) θ j : = θ j − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{4}

其中 α \alpha 是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，若是在原始代价函数以后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
(5) θ j : = θ j ( 1 − α λ m ) − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) \theta_j := \theta_j(1-\alpha \frac{\lambda}{m}) - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{5}

其中 λ \lambda 就是正则化参数。从上式能够看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， θ j \theta_j 都要先乘以一个小于1的因子，从而使得 θ j \theta_j 不断减少，所以总得来看， θ \theta 是不断减少的。

最开始也提到L1正则化必定程度上也能够防止过拟合。以前作了解释，当L1的正则化系数很小时，获得的最优解会很小，能够达到和L2正则化相似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

一般越大的 λ \lambda 可让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有以下带L1正则化项的代价函数：
F ( x ) = f ( x ) + λ ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 F(x) = f(x) + \lambda ||x||_1
其中 x x 是要估计的参数，至关于上文中提到的 w w 以及 θ \theta . 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当 λ \lambda 足够大时可使得 F ( x ) F(x) 在 x = 0 x = 0 时取到最小值。以下图：

@图3 L1正则化参数的选择
图3 L1正则化参数的选择

分别取 λ = 0.5 \lambda = 0.5 和 λ = 2 \lambda = 2 ，能够看到越大的 λ \lambda 越容易使 F ( x ) F(x) 在 x = 0 x=0 时取到最小值。

L2正则化参数

从公式5能够看到， λ \lambda 越大， θ j \theta_j 衰减得越快。另外一个理解能够参考图2， λ \lambda 越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

Reference

过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

联系我们 沪ICP备13005482号-10