高等数学：第九章 重积分（1）二重积分的概念、计算法和应用

§9.1  二重积分的概念与性质

1、二重积分的概念

一、曲顶柱体的体积

设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。

当时,在上连续且,之后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积能够这样来计算:

(1)、用任意一组曲线网将区域分红个小区域  ,以这些小区域的边界曲线为准线,做母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体 。

（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既表明第个小区域,又表示它的面积值,既表明第个小曲顶柱体,又表明它的体积值。)

 

从而                         (将化整为零)

(2)、因为连续,对于同一个小区域来讲,函数值的变化不大。所以,能够将小曲顶柱体近似地看做小平顶柱体,因而

(以不变之高代替变高, 求的近似值)

(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为

(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)

(4)、为获得的精值,只需让这个小区域愈来愈小,即让每一个小区域向某点收缩。为此,咱们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。

设个小区域直径中的最大者为, 则

(取极限让近似值向精确值转化)

二、平面薄片的质量

设有一平面薄片占有  面上的区域, 它在处的面密度为,这里,并且在上连续,现计算该平面薄片的质量。

将分红个小区域 用记的直径,既表明第个小区域又表明它的面积。

当很小时, 因为连续, 每小片区域的质量可近似地看做是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为

因而  

两种实际意义彻底不一样的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。所以,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更普遍、更抽象的数学概念___ 二重积分。

三、二重积分的定义

设是闭区域上的有界函数, 将区域分红个小区域

,

其中:既表示第个小区域, 也表示它的面积,表示它的直径。

做乘积   

做和式   

若极限   存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记做 。

即   

其中: 称之为被积函数,

称之为被积表达式,

称之为面积元素,

称之为积分变量,

称之为积分区域,

称之为积分和式。

四、几个事实

(1)、二重积分的存在定理

若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。

声明:在之后的讨论中,咱们总假定在闭区域上的二重积分存在。

(2)、中的面积元素象征着积分和式中的。

因为二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域以外,绝大多数的小区域都是矩形,所以,能够将记做(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。

(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。

2、二重积分的性质

二重积分与定积分有相相似的性质

一、【线性性】

其中:是常数。

二、【对区域的可加性】

若区域分为两个部分区域,则

三、若在上,,为区域的面积,则

 

几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

四、若在上,,则有不等式

特别地,因为，有

五、【估值不等式】

设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则

六、【二重积分的中值定理】

设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得

【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分，并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。

解:在上连续,故二重积分存在。用平行于轴或轴的直线

将剖分红个小矩形区域,

每一个小区域的面积为 ,

在小区域上选取点为格点,

做积分和式

 

 

 

小区域的直径均为

该曲顶柱体的图形为

据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为

【例2】估计二重积分  的值,是圆域。

解: 求被积函数在区域上可能的最值

是驻点,且 ；

在边界上,

,,

因而有

§9.2  二重积分的计算法

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是经过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。

1、利用直角坐标计算二重积分

咱们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。

讨论中,咱们假定 ；

假定积分区域可用不等式 表示,

其中, 在上连续。

据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。

在区间上任意取定一个点,做平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

通常地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

从而有

                     (1)

上述积分叫作先对Y,后对X的二次积分,即先把看做常数,只看做的函数,对计算从到的定积分,而后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。

这个先对, 后对的二次积分也常记做

在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对通常的 (在上连续),公式(1)老是成立的。

例如:计算 

解: 

相似地,若是积分区域能够用下述不等式

表示,且函数,在上连续,在上连续,则

       (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分。

二重积分化二次积分时应注意的问题

一、积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具备一个共同点:

对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交很少于两点。

若是积分区域不知足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。

二、积分限的肯定

二重积分化二次积分, 肯定两个定积分的限是关键。这里,咱们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。

画出积分区域的图形(假设的图形以下 )

在上任取一点,过做平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看做常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,因此再将看做变量而对积分时,积分的下限为、上限为。

【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。

相似地, 

 

【例2】计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。

【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。

解: 一、做出该立体的简图, 并肯定它在面上的投影区域

消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域

二、列出体积计算的表达式

 

三、配置积分限, 化二重积分为二次积分并做定积分计算

而  

由,的对称性有  

 

 

 

 

所求立体的体积为

2、利用极坐标计算二重积分

一、变换公式

按照二重积分的定义有

现研究这一和式极限在极坐标中的形式。

用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分红个小闭区域。

除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可以下计算

其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。

(数学上能够证实: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 所以, 这样的一些小区域能够略去不计)

在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有

因而

即

因为也常记做, 所以,上述变换公式也能够写成更富有启发性的形式

                (1)

(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。

(1)式的记忆方法:

二、极坐标下的二重积分计算法

极坐标系中的二重积分, 一样能够化归为二次积分来计算。

【情形一】积分区域可表示成下述形式

其中函数, 在上连续。

则 

【情形二】积分区域为下述形式

显然,这只是情形一的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。

故 

【情形三】积分区域为下述形式

 

显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分红与,而

故 

则 

由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成以下形式

下面经过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。

【例4】将下列区域用极坐标变量表示

一、

二、

三、

Ê先画出区域的简图, 据图肯定极角的最大变化范围；

Ë再过内任一点做射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就获得了极径的变化范围。

注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。

利用此题结果可求出著名几率积分 。

而被积函数知足 ,从而如下不等式

 

成立，再利用例二的结果有

,

 ,

因而不等式可改写成下述形式

故当 时有  ,

即   。

三、使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。

【例6】计算

解 此积分区域为

区域的简图为

该区域在极坐标下的表示形式为

§9.3  二重积分的应用

定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需知足如下条件：

一、所要计算的某个量对于闭区域具备可加性(即:当闭区域分红许多小闭区域时, 所求量相应地分红许多部份量,且)。

二、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部份量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记做。

(注: 的选择标准为: 是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)

三、所求量可表示成积分形式  

1、曲面的面积

设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具备连续偏导数和,现计算曲面的面积。

在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记做),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域的边界为准线做母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,因为的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。

曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为

它与轴正向所成夹角的方向余弦为

而    

因此  

这就是曲面的面积元素, 故

故    

【例1】求球面含在柱面 () 内部的面积。

解:所求曲面在面的投影区域  

曲面方程应取为  , 则

 ,   

曲面在面上的投影区域为

据曲面的对称性,有

若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所获得的投影区域分别为或,相似地有

或

2、平面薄片的重心

一、平面上的质点系的重心

其质点系的重心坐标为

  ,       

二、平面薄片的重心

设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何肯定该薄片的重心坐标。

这就是力矩元素,因而

又平面薄片的总质量   

从而,薄片的重心坐标为

特别地,若是薄片是均匀的,即面密度为常量,则

十分显然, 这时薄片的重心彻底由闭区域的形状所决定, 所以, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。

【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,

()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。

解: 由的对称性可知: 

而  

故  

3、平面薄片的转动惯量

一、平面质点系对坐标轴的转动惯量

设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。

设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为

二、平面薄片对于坐标轴的转动惯量

设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。

与平面薄片对坐标轴的力矩相相似,转动惯量元素为

【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线的转动惯量。

解: 转动惯量元素为

4、平面薄片对质点的引力

设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点  处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。

因而,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为

故

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