递归算法和非递归算法求解斐波那契数列并计算时间复杂度

首先了解线性递推数列的特征方程

（1）数列的特征方程：

假设一个数列：Xn+2 = C1Xn+1  + C2Xn

设有r,s使Xn+2 - rXn+1 = S(Xn+2-rXn);

所以Xn+2 = (s+r)Xn+1 - srXn;

得到 C1 = s+r;C2 = -sr;

消去s得到特征方程式：r^2 = C1*r + C2;

（2）使用二阶递推求斐波那契数列。

 

斐波那契数列：

F(n)=1,  n=0,1;

F(n)=F(n-1) + F(n-2),    n >1;

当n>1时进行r和s的求解得到r^2 = r + 1;

即x^2 = x + 1;

解得p = （1+√5）/2，q = （1-√5）/2；

则Xn = (1/√5)[（1+√5）/2)^n-(（1-√5）/2)^n]

（3）代码部分

       递归代码：

      int F(int n){

            if(n <=1){

                    return 1;

            }

            return F(n-1) + F(n-2);

      }

得到T(n)= O((1/√5)[（1+√5）/2)^n-(（1-√5）/2)^n])

          非递归代码：

          int F(int n){

         if(n<=1)return 1;

         int first = 1;

         int second = 1;

        int end= 0;

        int i = 2;

        while(i <= n ){

               end= first + second;

               first = second;

               second = end;

              i++;

      }

       return end;

}时间复杂度为O(n)