二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求几率密度，积分区域如何肯定（上）

二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求几率密度，积分区域如何肯定（上）

由于关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的肯定是难点，同时关联卷积概念，求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求几率密度，卷积公式容易，积分区间难以肯定，因此分红上中下三篇博客写。

一。问题的引入

有一大群人，令X和Y分别表示一我的的年龄和体重，Z表示该人的血压，而且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何经过X,Y的分布肯定Z的分布？

二。公式

特殊类型 ：Z=X+Y，怎样肯定Z的分布？如何求Z的几率密度？

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当X与Y相互独立时， 就获得所谓的 卷积公式

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三。已知f(x,y)，如何计算Z=X+Y型的几率密度 及几率分布 ？

根据理解或者根据上面的公式，咱们知道 是将f(x,y)求一次积分， 是求二次积分，难点问题在于 如何肯定积分区间？须要分红几个区间 ?

对于Z=X+Y型的关系，假设对x求一次积分，获得
表示成
，

那么咱们要画出一个 x--z的坐标，肯定积分区间

1）积分区间的左右两边，由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间,
那么积分的左右边界就是a到b

2）根据关系式
z=x+y， 因为坐标系是x--z的关系，那么y就是变常量
z的最小值：
z的最大值：
积分的上下边界就是 到

由于咱们讨论的f_{z}(z)是按照x积分：

因此按照x积分，积分区间就要分红三段：红色区间，蓝色区间，绿色区间

1) 红色区间 ，

x积分区间= a 到 Z-Ymin

2) 蓝色区间

x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin

3) 绿色区间

x积分区间= Z-Ymax 到 1

当x的a,b左右对称时，中间蓝色区间没有，只有两个积分区间：
红色区间 和 绿色区间

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【例一】设(X,Y)的联合密度函数为

(1)问X,Y是否独立？
(2)求Z=2X+Y的密度函数 和分布函数

(3)求P{Z>3}

【解】
(1) 问X,Y是否独立？
X,Y独立的条件

因此

(2)求Z=2X+Y的密度函数 和分布函数

(2.1)先求密度函数

Z=g(X,Y)=2X+Y

求
能够利用卷积公式

画一个 x-z 的坐标系

Z方向下限：
= 2X+0

Z方向上限：

参考书目：

张天德，叶宏 《星火燎原·几率论与数理统计辅导及习题精解》（浙大·第4版）第三章