高等数学——手撕牛顿莱布尼茨公式

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今天是高等数学专题的第13篇文章，咱们来看看定积分究竟应该怎么计算。

定积分的实际意义

经过以前的文章，咱们基本上熟悉了定积分这个概念和它的一些简单性质，今天终于到了正题，咱们要试着来算一算这个积分了。

咱们先来回忆一下对定积分的直观感觉，它能够表明一段曲形面积，好比：

若是咱们把上图当中的f(x)当作是速度函数，x轴当作是时间，那么f(x)就表示时刻x时物体运动的速度。那么咱们把全部瞬时移动的距离累加，就获得了物体在某个时间段内的位移矢量，而这个位移长度刚好就是咱们曲形的面积。咱们把定积分和物理上的位移进行挂钩以后，很容易得出一个结论，在物理学上，一个物体发生的位移和时间也是一一映射的关系，因此这也是一个函数。

有了这个结论以后，咱们就能够作一个假设，假设一个函数s(t)知足：

\[s(t) = \int_a^t f(t)dt \]

其中的a是一个定值，咱们能够认为是位移发生的起始时刻，s(t)就是物体位移和时间的函数。因此a到b这段时间内发生的位移就等于\(s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt\).

计算推导

当咱们把定积分和物理位移挂钩的时候，咱们距离求解它已经很接近了。

根据物理上的定义，物体的运动速度其实就等于位置矢量随时间的变化率，虽然不够严谨，但其实这是一个微份量，能够近似当作是位移函数的导数。固然这个只是直观的认识，咱们还须要用严谨的数学语言来表达。

咱们假设f(x)函数在区间[a, b]上连续，而且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)\)，咱们试着证实\(\Phi'(x) = f(x)\)。

咱们取一个绝对值足够小的\(\Delta x\)，使得\(x + \Delta x \in (a, b)\)，那么：

\[\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt \]

咱们用它减去\(\Phi(x)\)，获得：

\[\begin{aligned} \Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\ &= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\ &= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \end{aligned} \]

根据咱们积分中值定理，能够获得，存在\(\xi \in (x, x+\Delta x)\)，使得：

\[\begin{aligned} \Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\ \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi) \end{aligned} \]

因为f(x)在[a, b]上连续，而且\(\Delta x\to 0\)，因此\(\xi \to x\)，所以\(\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\)，进一步就证实了\(\Phi(x)\)的导数存在，而且：

\[\Phi'(x) = f(x) \]

到这里已经距离咱们的目标很是接近了，只差最后一步。这最重要的一步有两个数学大牛对它声明主权，一个是牛顿，另外一个是莱布尼茨。这也是数学界一桩很是出名的公案，这背后的故事背景很是复杂，属于典型的公说公有理婆说婆有理的桥段。有一部著名的纪录片叫作《一部微积分的恩怨史》讲的就是这一段故事，感兴趣的同窗能够去B站围观一下。

为了不引战，不少课本上都把它叫作牛顿-莱布尼茨公式，用两我的的名字共同命名。

牛顿-莱布尼茨公式

根据原函数的定义，从上面的结论当中咱们能够获得\(\Phi(x)\)是函数\(f(x)\)在[a, b]上的一个原函数。咱们假设F(x)也是f(x)的一个原函数，因此咱们能够知道\(F(x) - \Phi(x) = C\)，这里的C是一个常数。

令x = a，那么能够获得\(F(a) - \Phi(a) = C\)，根据\(\Phi(x)\)的定义，咱们能够知道\(\Phi(a) = 0\)，因此\(F(a) = C\)，而且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt\)，代入能够获得：

\[\begin{aligned} F(x) - \Phi(x) &= C\\ F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\ \int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a) \end{aligned} \]

咱们把b代入，能够获得\(\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a)\)，这个式子就是牛顿莱布尼茨公式。

咱们回顾一下上面的推导过程，难度并不大，可是几个代换处理很是巧妙，否则的话即便咱们能够获得结论，也并不严谨。

总结

有了定积分的计算公式以后，不少咱们以前没法解决的问题就均可以解决了，由此奠基了整个微积分的基础，不只推进了数学的发展，也带动了理工科几乎全部的学科。在各大理工学科之中几乎都有用到微积分进行一些复杂的计算，即便是看起来和数学不那么相关的计算机领域也不例外，这也是大学里为何给全部理工科的学生开设了这门课的缘由。

但遗憾的是，在咱们学习的时候每每很难预见它的重要性，然而当咱们预见这一点的时候，每每已是不少年以后，没有那样的环境和时间给咱们去好好学习了。

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