算法刷题（LeetCode：300、最长递增子序列）

1、题目描述

　　给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

　　子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其他元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

　　来源：力扣（LeetCode）
　　连接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence

　　题目分析

　　　　如他的题目所描述，须要求出【最长递增子序列】的【长度】。

　　　　几个关键词：最长、严格递增、长度。

　　　　此处的严格递增指：1,2,7,7的最长递增子序列长度为3，由于7和7相等，没有递增。

　　　　举几个例子：如{0,3,1,6,2,2,7}它的递增子序列有：{0,3,6,7} ,{0,1,6,7}, {0,1,2,7}以及一些更短的递增子序列，而咱们的目标就是求出这些子序列中长度的最大值。

2、用到的算法思想

　　我解这道题用到的有：【动态规划】(Dynamic Programming 简称DP)。

　　解题方式并不惟一，不要局限于一种方法。

3、思路

　　动态规划解题四部曲（非准确）：找出原问题--->将原问题分解为规模更小的子问题--->当规模小到必定程度时，答案出现或者很容易求出--->将小的问题合并成原来的问题。

　　一样以数组 {0,3,1,6,2,2,7}为例：

　　　　咱们能够很容易的有一种思路，前6个数的最长递增子序列，前5个数.........

　　　　验证这种思路是否可行：

　　　　　　{0,3,1,6,2,2,7} 的最长子序列长度为4，此时7在最长子序列当中。

　　　　在去掉7之后数组变为

　　　　　　{0,3,1,6,2,2} 最长子序列为3。说明7在最长子序列中，除去也不影响子问题的解。

　　　　再将最后的2一处数组，变为：

　　　　　　{0,3,1,6,2} 最长子序列依旧为3，说明除去的2不在最长子序列中，除去依旧不影响子问题的解。

　　　　......省略.....

　　　　因而可知，不管被移除数组的那一位是否在最长子序列中，都不影响子问题的解。所以，这个问题具备【最优子结构性质】。

　　　　因此，咱们已经无限接近答案了：

　　　　　　创建一个dp数组，长度为【数组长度+1】。

　　　　　　初始化：dp[0] = 0; dp[i] = 1; (i = 1,2,3...n);

　　　　　　接着为表中填入数据，从数组arr第1位开始：填入1；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2位：arr[1]与arr[0]比较，看arr[1]是否>arr[0]（便是否递增），若是递增，则判断dp[i+1]和dp[i] + 1二者谁大。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3位：同2，可是须要循环，直到数组下标为0的位置.......

　　　　　　{0,3,1,6,2,2,7} 填入的最终dp数组应该为: {0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}。

　　　　须要注意的是：最大值不必定在dp数字最后一位，如：{0,3,1,6,2,2,7,0,0,0} 它最终的dp数组为：{0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 1,1, 1}， 因此须要循环一次dp数组找出最大值。

4、代码实现（Java）

class Solution { public int lengthOfLIS(int[] nums) { int[] dp = new int[nums.length+1]; dp[0] = 0; for(int i = 0; i < nums.length; i++){ dp[i+1] = 1; for(int j = i; j >= 0; j--){ if(nums[i] > nums[j]){ dp[i+1] = getMax(dp[j+1]+1, dp[i+1]); } } } int max = 0; for(int i = 0; i <= nums.length; i++){ if(dp[i] > max) max = dp[i]; } return max; } public int getMax(int m, int n){ return m > n ? m : n; } }

5、完成时间

　　　　2021-01-28　　15:48:57

　　　　最近几天在研究动态规划，刷了七八道题，渐渐地有了一些感受，但动态规划也分好多种类，好比区间dp，背包dp，树形dp等等，须要多加努力。