离心泵水力设计——叶轮设计——6 方格网展开与叶片绘型

时间 2021-01-15

1 叶轮设计计算

1.13 计算叶片进口角度以及方格网上叶片绘型

确定叶轮进口圆周速度

从AutoCAD中量取进口边与前盖板、中间流线、后盖板的交点 $a、b、c$ 处的直径分别为 $D_{1a}=114.52mm、D_{1b}=86mm、D_{1c}=50mm$ 。

计算叶轮进口圆周速度

$u_{1a}=\frac{\pi D_{1a}n}{60}=\frac{\pi \times 0.11452 \times 2900}{60}=17.389m/s$ $u_{1b}=\frac{\pi D_{1b}n}{60}=\frac{\pi \times 0.086 \times 2900}{60}=13.059m/s$ $u_{1c}=\frac{\pi D_{1c}n}{60}=\frac{\pi \times 0.050 \times 2900}{60}=7.592m/s$

计算点的过水断面面积

$a、b、c$ 三个计算点的过水断面面积应该是分别经过这几个点的过流断面（即轴面投影图上面做流道内切圆，过该内切圆与前后盖板的两切点且与 $OA$ 和 $OB$ 垂直的弧 $AB$ ，绕轴线旋转一周所形成的空间曲面圆环的面积）。由于我们选择的 $a、b、c$ 三个点位于同一个过流断面上，因此他们的过水断面面积是相同的。即
$F_{1a}=F_{1b}=F_{1c}=2\pi R_{ca} b_{a}=2\pi\times40.2183\times40.8786=10330mm^2=10.330\times10^{-3}m^2$ 其中的 $R_{ca}$ 为弧的形心到轴线的距离（matlab小程序算出为40.2183）， $b_a$ 为弧的长度（CAD中量取），与前面的计算是一样的。

计算叶片进口角度（迭代计算）

a-a流线

假设计算点的叶片排挤系数 $\psi_{1a}=0.95$ ，计算点液体的轴面速度为
$v_{m1a}=\frac{Q}{\eta_{_V} F_{1a} \psi_{1a}}=\frac{200/3600}{0.9672\times10.330\times10^{-3}\times0.95}=5.853m/s$ 则进口角
$\tan\beta_{1a}^\prime=\frac{v_{m1a}}{u_{1a}}=\frac{5.853}{17.389}=0.3366$ 故
$\beta_{1a}^\prime=\arctan0.3366=18.6028\degree=19\degree$ 考虑到冲角的关系
$\beta_{1a}=\beta_{1a}^\prime+\Delta\beta_{1a}=19\degree+2\degree=21\degree$ 取 $\delta_1=2$ ， $\lambda_{1a}=85\degree$ （可能90更贴切一些，不过两者算出来结果差别不大），计算叶片排挤系数
$\psi_{1a}=1-\frac{z\delta_1}{D_{1a}\pi}\sqrt{1+\left(\frac{\cot\beta_{1a}}{\sin\lambda_{1a}}\right)^2}=1-\frac{7\times2}{114.52\times\pi}\sqrt{1+\left(\frac{\cot21\degree}{\sin85\degree}\right)^2}=0.8901$
与假定值相差较远，再次迭代计算，直至收敛为止，可编程完成该迭代，最终算得结果为：
$\psi_{1a}=0.8943，\beta_{1a}=21.6753\degree=22\degree$

b-b流线：

同样采用上述方法迭代计算，最终结果为：
$\psi_{1b}=0.8879，\beta_{1a}=27.6023\degree=28\degree$

c-c流线：

同样采用上述方法迭代计算，最终结果为：
$\psi_{1c}=0.8670，\beta_{1a}=42.1896\degree=42\degree$
通过上述计算过程，最终算得 $a、b、c$ 流线的进口叶片安放角度为 $22\degree、28\degree和42\degree$ 。另外，叶片出口角度已经在很早以前假设为了 $27\degree$ ，一般也是取在 $22\sim30\degree$ 的样子。接下来就可以用绘制方格网，并进行叶片绘型了。

方格网叶片绘型

所谓的方格网，就是将叶片所在的三维曲面展开拉伸成了二维曲面，有点类似与我们世界地图是从地球的圆柱展开平面图，经纬度展开，24个时区的地图。在方格网中，从左上角点开始，横轴表为圆周方向的每一个 $\Delta\theta$ ，每个格子对应之前的一个 $\Delta\theta$ ，而纵坐标则对应着所分的流线上的 $0,1,2,...$ 点，即 $\Delta s$ 。也就是说，对于每一个小方格，它们长宽是相等的，也就是之前流线分点的时候为什么要流线长和周向小弧段的长度相等的原因，这样子，在每个小方格子里面的线的角度与实际叶片的角度是一致的，也就是所谓的“保角变换”了。

叶片出口边的三个点画在一起，都画在横边上的同一点（即叶片的包角数目是一样的），叶片进口边都画在竖边上，但其位置上下不同（因为每个流线进口角度不一样的），可以直接在竖线上面点处几条流线的进口点（找到对应流线分点的几号点即可，一般还要自己估算下的，或者测量下），首先考虑叶片包角如何选取，叶片包角即叶片横边跨过的周向角度数目。

先选个差不多的叶片包角，绘制中间流线的出口角度线，和进口角度线，显然，两个角度不一样，两线交于一点，如果进口点到该点距离与该点到出口点距离大致相等，那就叶片包角大差不差了，否则的话就修改叶片包角，直到两者距离差不多为止。一般叶片包角用10°的整数倍的。这样子确定出来叶片包角大概为135°。事实上，中间流线进口28°，出口27°，近乎相等，只差了1°而已。叶片包角确定了，出口边的位置也确定了。

接下来就可以绘制叶片型线了。那就是过进口点与出口点且保证进口点角度和出口点角度的的光滑曲线。即，需要满足4个约束条件！！

注意：千万不能采用和过流断面绘制方法那样的方法在方格网上绘制叶片型线，即不能采用用起点、端点和方向画圆弧的方法。这是因为上述画法不能保证曲线满足进出口角度，由于圆弧仅仅是二次曲线，只能满足三个约束条件，过进口点、过出口点，进口相切角度，出口相切角度，只能满足一个进口角度或出口角度，在AutoCAD中按照起点、端点和方向绘制圆弧，即可发现，方向只能指定一个，而指定进口角度和出口角度所绘制出来的圆弧是截然不同的，只有当进口角和出口角的直线相较交于中点的时候，两个圆弧才是相等的，可以从角平分线的概念来理解这一点。

该如何解决这个问题呢？要想十分精确地绘制叶片型线，也为了方便后续的轴面截线和叶片加厚操作，下面的方法就非常好了。

需要自己计算三次方程的相关系数，即假设方格网上的叶片型线为三次曲线，其方程为 $y=a+bx+cx^2+dx^3$ 。由于其要经过进口点 $(x_1, y_1)$ 和出口点 $(x_2, y_2)$ ，同时又要满足进口角度 $\beta_1$ 和出口角度 $\beta_2$ 。那么需要联立求解如下的四元一次方程即可求出三次曲线的各个系数 $a、b、c、d$ 来。
$\begin{cases} y_1=a+bx_1+cx_1^2+dx_1^3 \\ y_2=a+bx_2+cx_2^2+dx_2^3 \\ \tan\beta_1=\frac{dy}{dx}|_{x=x_1}=b+cx_1+dx_1^2 \\ \tan\beta_2=\frac{dy}{dx}|_{x=x_2}=b+cx_2+dx_2^2 \end{cases}$ 确定了三次曲线，那么很容易求得各个轴面上的点坐标，从而在AutoCAD中在方格网上点出这些点坐标，用样条曲线拟合即可。

有了三次曲线的精确表达式，亦可以求出各个轴面处的叶片型线角度值了，用 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_i}$ 的反正切值即可。

AutoCAD里面打 $\degree$ 的方法是%%d。

附上matlab程序代码

叶片进口角度计算代码

% 2016-05-21 迭代计算叶片进口角度
% 2016-09-08 换参数再算

Q = 200 / 3600;	% 流量
EtaV = 0.9672;  % 水利效率
Fa = 10.330e-3;	% 过流断面面积
Z = 7;          % 叶片数目

% % a-a
% Ua = 17.389;    % 叶轮进口圆周速度
% D1 = 114.52;	% 进口边与流线交点的直径

% % b-b
% Ua = 13.059;    % 叶轮进口圆周速度
% D1 = 86;	% 进口边与流线交点的直径

% % c-c
Ua = 7.592;    % 叶轮进口圆周速度
D1 = 50;	% 进口边与流线交点的直径

delta1 = 2;     % 叶片真实厚度 
lambda = 85;    % 计算点轴面截线和轴面流线的夹角
 

Psi = 0.95;

for j = 1: 10
    Vm = Q / (EtaV * Fa * Psi);
    tanBeta = Vm / Ua;
    Beta = atan(Vm / Ua)*180/pi;
    Beta = Beta + 2;
    
    Psi1 = 1 - Z * delta1 / (pi*D1) * sqrt(1 + (cot(Beta*pi/180)/sin(lambda*pi/180))^2);
    
    disp([Psi, Psi1, Beta]);
    Psi = Psi1;
end

方格网上叶片绘型——三次曲线系数计算代码

% 2016-11-07
% 方格网上叶片绘型
% 即绘制过进口点与出口点，满足进口角和出口角的曲线
% 鉴于四个约束条件，该曲线为三次曲线，即 y = f(x) =  a + b*x + c*x^2 + d*x^3
% 进口点坐标(x1, y1)，进口角度alpha1
% 出口点坐标(x2, y2)，出口角度alpha2
% 联立求解四元一次方程即可
% y1 = a + b*x1 + c*x1^2 + d*x1^3
% tan(alpha1) = b + 2*c*x1 + 3*d*x1^2
% y2 = a + b*x2 + c*x2^2 + d*x2^3
% tan(alpha2) = b + 2*c*x2 + 3*d*x2^2

clear, clc;

% 前盖板
x1 = 600;   y1 = 21.4582;
x2 = 870;   y2 = 125;
alpha1 = 22;
alpha2 = 27;

A = [ 1, x1, x1^2, x1^3;
      1, x2, x2^2, x2^3;
      0, 1,  2*x1, 3*x1^2;
      0, 1,  2*x2, 3*x2^2 ];
B = [ y1; y2; tan(alpha1*pi/180); tan(alpha2*pi/180)];
X = A \ B;  % 解方程得系数

xSpan = (x1: 20: x2)';  % 周向每个10°取上一个点去计算y值
if xSpan(end) ~= x2
    xSpan = [xSpan; x2];
end
ySpan = X(1) + X(2)*xSpan + X(3)*xSpan.^2 + X(4)*xSpan.^3;
xySpan_QianGaiBan = [xSpan, ySpan];
alphaSpan_QianGaiBan = 180/pi*atan(X(2) + 2*X(3)*xSpan + 3*X(4)*xSpan.^2);  % 叶片各个周向轴面的扭角计算

% 中间流线
x1 = 600;   y1 = -16.3262;
x2 = 870;   y2 = 125;
alpha1 = 28;
alpha2 = 27;

A = [ 1, x1, x1^2, x1^3;
      1, x2, x2^2, x2^3;
      0, 1,  2*x1, 3*x1^2;
      0, 1,  2*x2, 3*x2^2 ];
B = [ y1; y2; tan(alpha1*pi/180); tan(alpha2*pi/180)];
X = A \ B;  % 解方程得系数

xSpan = (x1: 20: x2)';  % 周向每个10°取上一个点去计算y值
if xSpan(end) ~= x2
    xSpan = [xSpan; x2];
end
ySpan = X(1) + X(2)*xSpan + X(3)*xSpan.^2 + X(4)*xSpan.^3;
xySpan_ZhongJianLiuXian = [xSpan, ySpan];
alphaSpan_ZhongJianLiuXian = 180/pi*atan(X(2) + 2*X(3)*xSpan + 3*X(4)*xSpan.^2);  % 叶片各个周向轴面的扭角计算

% 后盖板
x1 = 600;   y1 = -74.7804;
x2 = 870;   y2 = 125;
alpha1 = 42;
alpha2 = 27;

A = [ 1, x1, x1^2, x1^3;
      1, x2, x2^2, x2^3;
      0, 1,  2*x1, 3*x1^2;
      0, 1,  2*x2, 3*x2^2 ];
B = [ y1; y2; tan(alpha1*pi/180); tan(alpha2*pi/180)];
X = A \ B;  % 解方程得系数

xSpan = (x1: 20: x2)';  % 周向每个10°取上一个点去计算y值
if xSpan(end) ~= x2
    xSpan = [xSpan; x2];
end
ySpan = X(1) + X(2)*xSpan + X(3)*xSpan.^2 + X(4)*xSpan.^3;
xySpan_HouGaiBan = [xSpan, ySpan];
alphaSpan_HouGaiBan = 180/pi*atan(X(2) + 2*X(3)*xSpan + 3*X(4)*xSpan.^2);  % 叶片各个周向轴面的扭角计算

% % 将这些具体的物理坐标值折合为流线上的分点坐标
% 方格网上的左上角点为坐标原点O，其具体的物理坐标为
Ox = 600;      Oy = 125;
% 方格网上垂直段1单位流线对应的具体物理长度，缩放系数
scaleFactor = 10; 
% 缩放为抽象的流线分点坐标值，每隔10°的一个轴面上的叶片截线的流线分点坐标
ySpan_QianGaiBan        = (xySpan_QianGaiBan(:, 2) - Oy) / scaleFactor;
ySpan_ZhongJianLiuXian  = (xySpan_ZhongJianLiuXian(:, 2) - Oy) / scaleFactor;
ySpan_HouGaiBan         = (xySpan_HouGaiBan(:, 2) - Oy) / scaleFactor;

save zhouMianYePianJieXian_y_QianGaiBan.txt ySpan_QianGaiBan -ascii
save zhouMianYePianJieXian_y_ZhongJianLiuXian.txt ySpan_ZhongJianLiuXian -ascii
save zhouMianYePianJieXian_y_HouGaiBan.txt ySpan_HouGaiBan -ascii

save ZhouXiangJieMianYePianNiuJiao_QianGaiBan.txt alphaSpan_QianGaiBan -ascii
save ZhouXiangJieMianYePianNiuJiao_HouGaiBan.txt alphaSpan_HouGaiBan -ascii
save ZhouXiangJieMianYePianNiuJiao_ZhongJianLiuXian.txt alphaSpan_ZhongJianLiuXian –ascii

关于如何避免出现S形型线的方法

2019-01-07
课程设计过程中，流卓1502吴洪雷表示，三次曲线虽然较好，然而没办法保证曲线是朝着一个方向凸的或者凹的，因为三次曲线的一阶导数是角度，二阶导数是角度变化率（为一次曲线），只要二阶导数不是全部大于0或者小于0，就会出现角度先增大再减小的情况，也就是出现了S型的曲线了，想了半天，也不知道怎么解决。

后来灵光一现，找到了一个极其穷凶极恶、简单粗暴的法子，那就是：先在进口点和出口点做跟进口角和出口角一致的切线，然后两个线肯定会相交在中间某一点，而且交点到进口点的距离跟交点到出口角的距离不相等。那么一个长一个短，让长的先走一段直线段，找到跟短的那一段相等的点，接下来，过这个点，以及短的那一段的端点（或者出口点，或者是进口点）做两条垂线，这两条垂线必然相交于一点。以该点为圆心，垂线长为半径做圆弧光滑连接两条相等短线的两端点，就完成了叶片绘型工作了。其实就是圆弧+直线，也能保证过两点，也能保证角度，还能保证曲线凹向的一致。

如下图所示：