线性代数应该这样学4：线性映射，单射与满射，零空间与像空间，线性映射基本定理

时间 2021-02-02

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在本系列中，个人我的看法将使用斜体标注。每篇文章的最后，我将选择摘录一些例题。因为文章是我独自整理的，缺少审阅，不免出现错误，若有发现欢迎在评论区中指正。数组

Part 1：线性映射

线性映射让线性代数再也不是静态的一门学科，有了线性映射，线性空间中的向量就能够动起来。这一章同时也在告诉读者，向量不仅是狭义的数组。ide

线性映射(linear map) 从\(V\)到\(W\)的线性映射是具备下列性质的函数\(T:V\to W\)：函数

加性(additivity)：\(\forall u,v\in V\)，有\(T(u+v)=Tu+Tv\)。
齐性(homogeneity)：\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)和\(v\in V\)，有\(T(\lambda v)=\lambda (Tv)\)。

注意线性映射的加性和齐性是缺一不可的，它们并没有相互包含的关系。学习

线性映射的集合 \(\mathcal L(V,W)\)表明从\(V\)到\(W\)的全部线性映射。spa

在\(\mathcal L(V,W)\)中，每个线性映射\(T\)是一个集合内的元素，要搞清楚集合的基本元素是什么。对象

因为\(V,W\)都是线性空间，因此不可避免地要讨论线性空间的维数和基。能够直观地想象一下，若是一个线性映射\(T\)肯定了集合中每个基向量\(v_1,\cdots,v_n\)的取值，那么\(V\)中的任何向量\(v\)在\(W\)中的像\(Tv\)也随之肯定，由于\(v\)只能由\(v_1,\cdots,v_n\)惟一表示。这个性质直接引出了下面的定理。ci

线性映射与基 设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，\(w_1,\cdots,w_n\in W\)，则存在惟一一个线性映射\(T:V\to W\)使得对任意\(j=1,\cdots,n\)，都有it

\[Tv_j=w_j. \]

这里须要先说明两个线性映射相等指的是什么，若是两个线性映射把任意\(V\)中的\(v\)都映射到同一个像上，就称它们是同一个线性映射。从咱们刚才的分析来看，只要两个线性映射对全部基的成像都相同，它们就是同一个线性映射。class

首先证实这样的线性映射存在。定义\(T\)为基础

\[T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n, \]

显然只要取\(c_i=1\)，当\(j\ne i\)时\(c_j=0\)，就有\(Tv_j=w_j\)。下验证\(T\in\mathcal L(V,W)\)，即知足加性和齐性。首先\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)，\(v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有

\[T(\lambda v)=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)=\lambda T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=\lambda Tv, \]

另外对于\(u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\)，有

\[T(u+v)=(a_1+c_1)Tv_1+\cdots+(a_n+c_n)Tv_n=Tu+Tv. \]

这里写得很简略，展开之后能够当即得出，就不详叙了。接下来要证实这样的线性映射是惟一的，即任何\(S\in \mathcal L(V,W)\)，若是它知足\(Sv_j=w_j\)，则\(\forall v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有

\[Sv=c_1Sv_1+\cdots+c_nSv_n=c_1w_1+\cdots+c_nw_n=Tv, \]

故\(S=T\)。

刚才咱们所构建的\(\mathcal L(V,W)\)只是一个集合，一个集合若是不具备运算，那么集合内部就没有结构，只是一个元素的集合体。如今，咱们能够给\(\mathcal L(V,W)\)内定义运算，从而使它具备更多的性质。

\(\mathcal L(V,W)\)上的加法和标量乘法：

定义\(S+T\)为\(V\)到\(W\)的线性映射，知足对一切\(v\)都有

\[(S+T)v=Sv+Tv. \]
定义\(\lambda T\)是\(V\)到\(W\)的线性映射，知足对一切\(v\)都有

\[(\lambda T)v=\lambda (Tv). \]

这里须要思考，这样定义出来的\(S+T\)与\(\lambda T\)是不是线性映射（实际上确定是，可是须要验证）。同时，要将\(\mathcal L(V,W)\)上的加法、标量乘法与线性映射的加性、齐性区分开，这两个是彻底不一样的东西。

加上了定义以后，咱们能够验证\(\mathcal L(V,W)\)是一个线性空间。回顾线性空间的定义条件，加法、乘法、交换性、结合性、分配性质都是容易验证的，乘法单位元也是显然的，而加法单位元应该是\(0\)映射：\(\forall v,0v=0\)。要注意，这里第一个\(0\)既不是\(0\)向量，也不是标量\(0\)，而是一个线性映射：\(0\in\mathcal L(V,W)\)，它将\(v\)上的全部向量映射到\(W\)空间的加法单位元\(0\)。

线性映射的乘积(product of linear maps) 若\(L\in\mathcal L(U,V)\)，\(S\in\mathcal L(V,W)\)，则定义线性映射的乘积\(ST\)为：

\[\forall u\in U,\quad ST(u)=S(Tu)\in W. \]

注意到，若是咱们把每个线性映射当作线性空间里的一个向量，通常的向量乘积是没有定义的，但线性映射却能够定义乘积，这是它与通常向量的不一样之处。实际上，线性映射也属于特殊的一种函数，因此线性映射的乘积等价于函数的复合。

\(ST\)是线性映射：线性映射的乘积仍然是一个线性映射。

\(\forall u_1,u_2\in U\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，

\[ST(u_1+u_2)=S[T(u_1+u_2)]=S(Tu_1+Tu_2)=STu_1+STu_2,\\ ST(\lambda u)=S[T(\lambda u)]=S[\lambda (Tu)]=\lambda S(Tu)=\lambda STu. \]

故\(ST\)做为映射知足加性和齐性，是线性映射。

咱们把线性映射当作一个向量，可是相乘的两个向量并不属于同一个向量空间，乘出的结果也并不属于原来两个向量空间之一（广义来讲，即不考虑\(\mathcal L(V,V)\)的特例），因此它与线性空间中定义的加法又不属于同一种运算类型。

线性映射乘积的代数性质 如下性质有助于对线性映射进行复合。

结合性(associativity)：若是如下乘积都是有意义的，则

\[(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3). \]
这里\(T_1,T_2\)和\(T_3\)都是线性映射。
单位元(identity)：存在恒等映射\(I_V,I_W\)，使得\(\forall T\in\mathcal L(V,W)\)，

\[I_WT=TI_V=T. \]
在学习的初级阶段，写出映射乘积的存在条件仍是颇有必要的。
分配性质(distributive properties)：对\(T,T_1,T_2\in\mathcal L(U,V)\)，\(S,S_1,S_2\in\mathcal L(V,W)\)，成立

\[(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T,\\ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2. \]

通常要注意，线性映射的乘法不可交换，即对于通常函数也有\(f[g(x)]\ne g[f(x)]\)同样。对于那些特别可交换的线性映射对，称它们为可交换的。

结合性：\(\forall v\)，这里\(v\)落在\(L_3\)的定义域内，则

\[(T_1T_2)T_3v=(T_1T_2T_3)v=T_1(T_2T_3)v, \]

故结合性成立。这里的每一个等号都是基于线性映射乘法的定义的，不妨回顾一下。

单位元：\(\forall v\in V\)，

\[I_WTv=I_W(Tv)=Tv,\\ TI_V v=T(I_Vv)=Tv, \]

故\(I_WT=TI_V=T\)。

分配性质：\(\forall v\in V\)，

\[(S_1+S_2)Tv=(S_1+S_2)(Tv)=S_1Tv+S_2Tv=(S_1T+S_2T)v,\\ S(T_1+T_2)v=S(T_1v+T_2v)=ST_1v+ST_2v=(ST_1+ST_2)v. \]

对于第一行，第一个等号是线性映射乘法定义，第二个等号是线性映射加法定义，第三个等号是映射的线性性。对于第二行，第一个等号是线性映射加法定义，第二个等号是映射的线性性，第三个等号也是线性映射加法定义。

最后书上给出一个实用的定理，这个定理经常能够直接证实映射不是线性的。

线性映射对加法单位元 若\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(T(0)=0\)。

\[T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0), \]

故\(T(0)=0\)。

Part 2：零空间与值域

能够说，本节中提到的零空间、值域、单射满射都是彼此相连的一个总体，它们之间具备许多联系，共同构成线性映射的结构基础。

零空间(null space) 对于\(T\in\mathcal L(V,W)\)，\(T\)的零空间指的是\(V\)中那些被\(T\)映射为\(0\)的向量构成的集合：

\[\mathrm{null}{T}=\{v\in V:Tv=0\}. \]

零空间也被称为核空间(kernel)。

零空间之因此能被称为空间，是由于零空间也是一个向量空间，知足加法与标量的封闭性。显然，若是零空间不是线性空间，也没有研究它的价值。

零空间是子空间 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(\mathrm{null}T\)是\(V\)的子空间。

设\(u,v\in\mathrm{null}T\)，则

\[T(u+v)=Tu+Tv=0,\quad u+v\in\mathrm{null}T. \]

对于\(\lambda \in\mathbb{F}\)，有

\[T(\lambda v)=\lambda Tv=0,\quad \lambda v\in\mathrm{null}T. \]

最后，因为\(T(0)=0\)，因此\(0\in\mathrm{null}T\)。向量空间的三大条件得以验证。

单射(injective) 若是\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)，则称\(T\in\mathcal L(V,W)\)是单射。

单射的概念很重要，联想可以一一肯定自变量和因变量的函数——可逆函数，它与单射就很相似。

单射的等价条件 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(T\)是单射等价于\(\mathrm{null}T=\{0\}\)。

这是一个十分重要的定理。

已有\(\{0\}\subset\mathrm{null}T\)。当\(T\)是单射时，\(\forall v\in \mathrm{null}T\)，有

\[Tv=0=T0, \]

结合单射性就获得\(v=0\)，即\(\mathrm{null}T= \{0\}\)。

反之，若\(\mathrm{null}T=0\)，则\(\forall u,v\in V\)，若是\(Tu=Tv\)，则

\[Tu-Tv=T(u-v)=0, \]

故\(u-v=0\)，获得\(u=v\)，从而证实\(T\)是单射。

值域(range) 对于\(T\in\mathcal L(V,W)\)，称\(V\)的值域为全部形如\(Tv(v\in V)\)的向量构成的集合，即

\[\mathrm{range}T=\{Tv:v\in V\}. \]

天然地，值域也应该是一个子空间，但注意对象不一样。显然每个\(Tv\in W\)，因此值域是\(W\)的子空间而不是\(V\)的，这点与零空间不一样。

值域是子空间 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(\mathrm{range}T\)是\(W\)的子空间。

这个证实虽然简单，但又和零空间的有一些不一样。

若\(w_1,w_2\in\mathrm{range}T\)，则\(\exists v_1,v_2\in V\)，\(Tv_1=w_1,Tv_2=w_2\)，则

\[w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2), \]

因为\(v_1+v_2\in V\)，因此\(w_1+w_2\in \mathrm{range}T\)。同理

\[\lambda w_1=\lambda Tv_1=T(\lambda v_1)\in\mathrm{range}T, \]

又由于\(T(0)=0\)，因此\(0\in\mathrm{range}T\)。向量空间的三个条件得以验证。

满射(surjective) 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，若是\(\mathrm{range}T=W\)，则称\(T\)是满射。

单射能够类比一一映射，满射则至关于将映射的值域扩充满了，两者一结合，就能获得全空间上的一一映射。

须要注意的是，若是\(W'\)是\(W\)的非平凡子空间，\(T\in\mathcal L(V,W')\)是满的极可能不意味着\(T\in\mathcal L(V,W)\)上也是满的，即便对\(T\)做解析延拓也不必定，这是由于\(\mathrm{range}T\)受到\(V\)的维数限制，咱们能够很容易地证实这一点。

事实上，咱们前面得出了单射与零空间的关系，这里得出了满射与像空间（值域）的关系，这两组关系在形式上对偶，不妨将\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)看做单射的衍生性质，而从零空间的角度定义它，这样显得更统一，不过这让“单射”的名字没有那么写实了。

线性映射基本定理 设\(V\)是有限维的，\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(\mathrm{range}T\)是有限维的，且

\[\dim V=\dim\mathrm{null}T+\dim\mathrm{range}T. \]

这个定理揭示了线性映射结构的本质关系——它只会形成信息的丢失，而不会形成信息的增长，由于\(T(0)=0\)，而零空间的维数就是信息丢失多少的量度。

设\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，则\(\dim \mathrm{null}T=m\)。这组基能够扩充成\(V\)的基：

\[u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n,\quad \dim{V}=m+n. \]

若是等式成立，则\(\dim\mathrm{range}T=n\)，天然会猜测\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)是\(\mathrm{range}T\)的基，这包括张成性与线性无关性两方面。

先证张成性，\(\forall v\in V\)，有

\[v=a_1u_1+\cdots+a_m u_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n, \]

故

\[Tv=T\left(\sum_{j=1}^m a_ju_j+\sum_{j=1}^n b_jv_j \right)=\sum_{j=1}^nb_j Tv_j, \]

所以\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)张成\(\mathrm{range}T\)。

再证线性无关，令

\[a_1Tv_1+\cdots +a_nTv_n=0, \]

则

\[T\left(\sum_{j=1}^n a_jv_j\right)=0,\quad \sum_{j=1}^n a_j v_j\in\mathrm{null}T, \]

因此

\[\sum_{j=1}^n a_jv_j=\sum_{j=1}^m b_ju_m, \]

移项后获得\(a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_m=0\)，线性无关性得证。

对比线性映射基本定理与和空间维数公式的证实过程，读者应该能捕捉到两者之间的共同点。

由线性映射基本定理，直接获得两个推论：

到更小维数向量空间的线性映射不是单射。
到更大维数向量空间的线性映射不是满射。

由此结论创建线性方程组求解的关系，是一个直接的推论。事实上，线性方程组的本质就是咱们在例题1中提到的\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，\(n\)是变量个数，\(m\)是约束条件个数，在这里就不展开了。

例题

3.A部分的例题比较简单，毕竟仍是围绕着有限维向量空间的线性映射，只要别忘了有限维向量空间的基就好。3.B部分的例题则主要围绕着线性映射基本定理，还有一些维数的基本关系，只要会利用\(V\)和\(W\)的基构造知足条件的线性映射（构造的存在性由“线性映射与基”结论保证），问题基本能够迎刃而解。

第一题（3.A 3） 设\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，证实存在标量\(A_{j,k}\in\mathbb{F}\)，其中\(j=1,\cdots,m\)，\(k=1,\cdots,n\)，使得对任意\((x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{F}^n\)都有

\[T(x_1,\cdots,x_n)=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \]

这题看起来无从入手，可是线性代数嘛，既然是有限维向量空间，那就有穷举的机会，莽就完事了。

取\(V\)的一组天然基\(e_1,\cdots,e_n\)，它在\(T\)下必然拥有一个像，故设

\[T(e_i)=(A_{1,i},A_{2,i},\cdots,A_{m,i}), \]

因为\(V\)中的每个向量均可以被这组基线性表示，不妨设

\[v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n, \]

则由\(T\)的线性性，

\[\begin{aligned} T(v)&=T(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)\\ &=T(x_1,\cdots,x_n)\\ &=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)\\ &=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \end{aligned} \]

由\(v\)的任意性，结论得证。

第二题（3.A 14） 设\(V\)是有限维的且\(\dim{V}\ge2\)，证实存在\(S,T\in\mathcal L(V,V)\)，使得\(ST\ne TS\)。

这题的关键信息在于\(\dim{V}\ge 2\)，于是能够找到两个线性无关向量，围绕他们进行一波构造就能够推出找到这样的\(S,T\)。

设\(v_1,v_2\)是\(V\)中两个线性无关的向量，由于\(\dim V\ge 2\)，因此这样的两个向量是能够找到的。

令

\[Tv_1=v_2,\quad Sv_1=v_1+v_2,\\ Tv_2=0,\quad Sv_2=v_1. \]

则

\[STv_1=Sv_2=v_1,\\ TSv_1=T(v_1+v_2)=v_2, \]

由\(v_1,v_2\)的线性无关性，获得\(STv_1\ne TSv_1\)，即\(ST\ne TS\)。

第三题（3.B 22） 设\(U,V\)都是有限维向量空间，并设\(S\in \mathcal L(V,W)\)，\(T\in\mathcal L(U,V)\)，证实：

\[\dim\mathrm{null}(ST)\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T. \]

万变不离其宗，基扩充在证实维数不等式上依然是永远的神。

首先要注意到\(\mathrm{null}T\subset\mathrm{null}(ST)\)。设\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，若是\(\mathrm{null}T=\mathrm{null}(ST)\)，则不等式已经成立。假设两者不等，则能够扩充为\(\mathrm{null}(ST)\)的基：

\[u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_{n}. \]

知足

\[Tu_{m+1}\ne 0,\cdots,Tu_n\ne 0. \]

现证实\(Tu_{m+1},\cdots,Tu_n\)是线性无关的，即

\[a_{m+1}Tu_{m+1}+\cdots+a_nTu_n=T\left(\sum_{j={m+1}}^{n} a_ju_{j} \right), \]

因此\(\sum_{j=m+1}^{n}a_ju_j\in\mathrm{null}T\)，即

\[\sum_{j=m+1}^n a_ju_j=\sum_{k=1}^m b_ku_k, \]

移项获得\(a_{m+1}=\cdots=a_n=0\)（因为\(u_1,\cdots,u_n\)是\(\mathrm{null}(ST)\)的基），因此线性无关性得证。又由于\(\mathrm{null}S\)中线性无关组的长度中小于张成组的长度，因此

\[\dim S\ge n-m,\\ \dim\mathrm{null}(ST)=n=n-m+m\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T. \]

第四题（3.B 2六、27）

一、设\(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbb{R}),\mathcal P(\mathbb{R}))\)使得对每一个很是数多项式\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)均有\(\mathrm{deg}(Dp)=(\mathrm{deg}p)-1\)，这里\(\mathrm{deg}\)指的是多项式的次数，证实\(D\)是满射。

二、设\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，证实存在多项式\(q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)使得

\[5q''+3q'=p. \]

这题本质上和线性方程组是同样的，但因为笔记中对线性方程组的介绍不多，所以将这个例题摘录于此。第二问中的微分算子其实就是第一问中\(D\)的一种显式，能够看做1中结论的直接应用。另外，看到多项式时，应当考虑多项式空间的天然基，本题的主要问题是无限维向量空间的处理。

一、由题意，\(\forall n\)，

\[\mathrm{deg}Dx^{n+1}=n, \]

显然因为\(Dx,Dx^2,\cdots\)的次数不一样，它们是线性无关的，对任何一个给定的\(j\)，

\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,\cdots,Dx^{j+1})=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^j), \]

所以令\(j\to \infty\)，有

\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,Dx^3,\cdots)=\mathrm{span}(1,x,x^2,\cdots)=\mathcal P(\mathbb{R}),\\ \mathcal P(\mathbb{R})\subset \mathrm{range}D. \]

又由于对任何多项式\(p\)，\(Dp\)还是一个多项式，因此

\[\mathrm{range}D\subset \mathcal P(\mathbb{R}), \]

即\(\mathrm{range}D=\mathcal P(\mathbb{R})\)，也就是\(D\)是满射。

二、定义降次算子为\(Dp=3p'+5p''\)，则由1，\(D\)是满的，因此\(\forall q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，一定存在一个\(p\)，使得

\[Dp=5p''+3p'=q. \]