LOJ2687 BalticOI2013 Vim 线头DP

传送门

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多图警告！！！

一种很新奇的\(DP\)，全网彷佛只有一两篇题解……

首先，序列中的一段\(e\)等价于在跳的过程当中这一段\(e\)以后的一个字符必需要通过，而且在最后的答案中加上$2 \times $e的个数。

那么原题等价于：给出一个序列和两种移动方式，移动过程当中必需要通过某一些点，求最小代价。

咱们不妨把若干连续的\(f\)操做和若干连续的\(h\)操做当作线，那么移动路线就变成下面这样

首先，考虑下面两种移动路线

A路线必定没有B路线优，由于A路线有重复的折返。

这样说来：若是通过某些连续的\(f\)操做以后开始进行\(h\)操做，那么必定会到达要到达的最前面的目标，而后一直进行\(f\)操做再也不回来。

到这里不难设计出一个暴力的\(DP\)：设\(dp_{i,j}\)表示已经通过了前\(i\)个必经字符，当前光标在第\(j\)个字符时的最小代价。设字符集为\(A\)，那么这种\(DP\)是\(O(N^2A)\)的，不够优秀。考虑优化。

发现上面的条件等价于对于某一个位置\(i\)，通过的位置覆盖了位置\(i\)与\(i+1\)之间的线段的线的数量要么是\(1\)，要么是\(3\)，对应下图的\(AB\)两种状况。

到了这里就能够开始设计更加优秀的\(DP\)了

设\(p_{i,j}\)表示覆盖了\(i\)与\(i+1\)之间的线段\(1\)次，且覆盖\(i\)与\(i+1\)之间的线段的\(f\)操做选择的字符是\(j\)的最小代价，\(q_{i,j,k}\)表示覆盖了\(i\)与\(i+1\)之间的线段\(3\)次，且在进行\(h\)操做以前覆盖\(i\)与\(i+1\)之间的线段的\(f\)操做选择的字符是\(j\)、在进行\(h\)操做以后覆盖\(i\)与\(i+1\)之间的线段的\(f\)操做选择的字符是\(k\)的最小代价

又设\(s_i\)表示字符串的第\(i\)个字符，\(imp_i\)表示原串中第\(i\)个字符前是否存在字符\(e\)

转移：

\[\begin{align}p_{i,j} = & p_{i-1,j} & j \neq s_i \&\& imp_i \neq 1\\& p_{i-1,s_i} + 2 \\& q_{i-1,s_i,j} & j \neq s_i \\ & q_{i-1,s_i,s_i} + 2 \end{align}\]

\(p_{i,j}\)的转移分别对应下图的\(ABCD\)状况

其中虚线表示新加入的线，红色字表示对应位置的字符类型，黑色字表示位置编号

\(\begin{align} q_{i,j,k} = & p_{i-1,j} + 3 & j \neq s_i \\ & p_{i-1,s_i}+5 \\ & q_{i-1,j,k} + 1 & j \neq s_i \&\& k \neq s_i \\ & q_{i-1,s_i,k} + 3 & k \neq s_i \\ & q_{i-1,j,s_i} + 3 & j \neq s_i \\ & q_{i-1,s_i,s_i} + 5 \end{align}\)

\(q_{i,j,k}\)转移分别对应下图中的\(ABCDEF\)状况

能够发现转移就是把线延长和补全的过程，因此叫作线头DP

初始值：\(f_{0,s_1}=0\)，其余等于\(inf\)。最后的答案是\(f_{len,x}\)，其中\(x\)是没有在字符串中出现过的字符。这能够理解成在无限远的地方有一个字符\(x\)，最后一次操做就是直接跳到这一个无限远的地方。固然，这意味着最后的答案会加上跳到这个无限远的地方的\(2\)的代价，减掉\(2\)就好了。

Update：转移\(q\)的时候并不知道为何D有用，可是不转移会WA

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    while(!isdigit(c) && c != EOF){
        if(c == '-')
            f = 1;
        c = getchar();
    }
    if(c == EOF)
        exit(0);
    while(isdigit(c)){
        a = a * 10 + c - 48;
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

const int MAXN = 7e4 + 7 , A = 11;
int f[MAXN][A] , g[MAXN][A][A] , ch[MAXN];
bool must[MAXN];
int N , M , cnt;

inline char getc(){
    char c = getchar();
    while(!islower(c))
        c = getchar();
    return c;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
#endif
    N = read();
    bool ife = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
        char c = getc();
        if(c == 'e')
            cnt += (ife = 1);
        else{
            must[++M] = ife;
            ife = 0;
            ch[M] = c - 'a';
        }
    }
    for(int i = 0 ; i < A ; ++i){
        for(int j = 0 ; j < A ; ++j)
            g[0][i][j] = INF;
        f[0][i] = INF;
    }
    f[0][ch[1]] = 0;
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
        for(int j = 0 ; j < A ; ++j){
            int t = INF;
            if(j != ch[i] && !must[i])
                t = min(t , f[i - 1][j]);
            t = min(t , f[i - 1][ch[i]] + 2);
            if(j != ch[i])
                t = min(t , g[i - 1][ch[i]][j]);
            t = min(t , g[i - 1][ch[i]][ch[i]] + 2);
            f[i][j] = t;
            for(int k = 0 ; k < A ; ++k){
                t = INF;
                if(j != ch[i])
                    t = min(t , f[i - 1][j] + 3);
                t = min(t , f[i - 1][ch[i]] + 5);
                if(j != ch[i] && k != ch[i])
                    t = min(t , g[i - 1][j][k] + 1);
                if(j != ch[i])
                    t = min(t , g[i - 1][j][ch[i]] + 3);
                if(k != ch[i])
                    t = min(t , g[i - 1][ch[i]][k] + 3);
                t = min(t , g[i - 1][ch[i]][ch[i]] + 5);
                g[i][j][k] = t;
            }
        }
    cout << f[M][10] + 2 * cnt - 2;
    return 0;
}