简单数学

目录

• 欧几里得算法
  • 例题
• 扩展欧几里得算法
  • 求线性同余方程
  • 求线性同余方程的最小解
• 素数筛
  • 埃氏筛(\(O(nloglogn)\))
  • 欧拉筛(\(O(n)\))

好像以前写过了，不过老师让写笔记就有写了一遍
声明本文是用笔记本电脑的键盘写的误触的概率很是大因此可能会出现奇怪的问题

欧几里得算法

求两数的最大公约数,证实我不会就不写了

int gcd(int a, int b){
    return b == 0? a : gcd(b, a % b);
}

例题

UVA12716GCD等于XOR GCD XOR

异或的性质

1.若\(a\ xor\ b=c\)则\(a\ xor \ c=b\)

2.\(a-b<=a\ xor\ b\ \ \ \ \ (a>=b)\)

设\(a=k_1*c,b=k_2*c\)

则\(a-b=(k_1-k_2)*c\)

则\(a-b>=c\)

由于上述性质2

因此\(a-b<=c\)

因此只要枚举\(a\)和\(c\),计算\(b=a-c\),则\(gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c\) 再验证是否有\(c = a \ xor\ b\)便可，时间复杂度为\(O(nlogn)\).

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read() {
    char c = getchar();
    int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int n,t;
const int N=30000001;
int ans[N];
int main() {
    for(int c=1;c<=N;++c)
    {
        for(int a=c+c;a<=N;a+=c)
        {
            int b=a-c;
            if(c==(a^b)) ans[a]++;
        }
    }
    for(int i=2;i<=N;++i)   ans[i]+=ans[i-1];
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;++i)
    {
        n=read();
        cout<<"Case "<<i<<": "<<ans[n]<<'\n';
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法，简称 $ exgcd $，通常用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等。

求线性同余方程

方程以下

$ ax+by=gcd(a,b) $

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)

因此可设 \(a^,=b\ \ \ \ b^,=a \% b=a-a/b*b\)

即方程变为 \(a^,x+b^,y=gcd(a,b)\)

\(b * x+(a-a/b * b) * y=gcd(a,b)\)

\(y * a+(x-y * a/b) * b=gcd(a,b)\)

因此咱们能够在欧几里得算法的基础上加上参数\(x,y\)来求解线性同于方程

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1, y = 0;
    return;
  }
  exgcd(b, a % b, y, x);
  y -= a / b * x;
}

求线性同余方程的最小解

\(ax+cy=b\)的通解是\(x+k * c/gcd(a,c)\)

咱们令\(p=c/gcd(a,c)\)

因此最小的整数解就是\((x\%p+p)\%p\)

注意要先加上\(p\)再模\(p\)

例题

POj2115神仙题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll A,B,C,k;
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &g,ll &x,ll &y){
    if(b==0){x=1;y=0;g=a;}
    else{exgcd(b,a%b,g,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int main(){
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&C,&k)!=EOF){
        if(!A&&!B&&!C&&!k) break;
        ll c=B-A,a=C,b=1LL<<k,g,x,y;
        exgcd(a,b,g,x,y);
        if(c%g) printf("FOREVER\n");
        else{
            b/=g;c/=g;
            printf("%lld\n",(x%b*c%b+b)%b);
        }
    }
}

素数筛

埃氏筛(\(O(nloglogn)\))

不解释了看图吧

for(int i=2;i<=t;i++) { 
    if(prime[i]) { 
        for(int j=2 * i;j<MAXN , j += i) 
        { 
            prime[j]=false; 
        } 
    }    
}

欧拉筛(\(O(n)\))

仔细看上面的动图你就会发现有些点被重复筛了

用一些办法是每一个合数只会被它最小的质因子筛

用\(vis[i]\)记录\(i\)的最小质因子

关于 if(i % prime[j] == 0) break

当 \(i\)是\(prime[j]\)的倍数时，\(i = k*prime[j]\)，若是继续运算 \(j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]\)，这里\(prime[j]\)是最小的素因子，当\(i = k * prime[j+1]\)时会重复，因此才跳出循环。

举个例子 ：\(i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2\)，若是不跳出循环，\(prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12\)，在\(i = 12\)时会计算。由于欧拉筛法的原理即是经过最小素因子来消除。

for(int i=2; i<=n; i++){ 
    if(!vis[i]) prime[cnt++]=i; 
    for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] <= n; j++){ 
        vis[i * prime[j]]=prime[j]; 
        if(i % prime[j] == 0) break; 
    } 
}