层次分析法（AHP）

时间 2020-11-18 标签 web svg atom spa code orm xml 排序数学

层次分析法（AHP）

问题的提出

平常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时须要依据必定的标准选择某一种方案。web

购物：买钢笔，通常要依据质量、颜色、实用性、价格等方面的因素来选择某一只钢笔。买饭，则要依据色、香、味等方面的因素选择某种饭菜。
旅游：选择旅游地的时候，通常会依据景色、费用、食宿条件等因素选择去哪一个地方。

面临各类各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有至关的比重，给用数学方法解决问题带来不便。而层次分析法就是用来有效处理这类问题的实用方法。svg

层次分析法的基本步骤

1.创建层次结构模型

通常分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。atom

若上层的每一个因素都支配者下一层的全部因素，或被下一层全部因素影响，称为彻底层次结构，不然称为不彻底层次结构。spa

2.构形成对比较矩阵

设某一层有n个因素，X={x1,x2,….xn}。要比较该层的每个因素对上一层的某个因素的影响程度，肯定在该层中相对于某一准则所占的比重。
假设上一层有m个因素，该层有n个因素，那么对于该层咱们须要构建m个n*n的成对比较矩阵。code

用 $a_{ij}$ 表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，比较时取1~9尺度。orm

a i j = 1 a j i

$a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}}$

A = (a i j) n * n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 . . . a n 1 a 12 a 22 . . . a n 2 . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A=(a_{ij})_{n*n}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & ...& a_{nn}\\ \end{bmatrix}$
A则称为成对比较矩阵。

对于买钢笔问题，中间层能和上一层的买钢笔构成一个成对比较矩阵
xml

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 12 1 / 4 1 / 3 1 / 3 1 / 2 1 1 / 7 1 / 5 1 / 5 47123 35 1 / 2 11 35 1 / 3 11 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 4 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 7 & 5 & 5 \\ 1/4 & 1/7 & 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/3 & 1/5 &2 & 1 & 1 \\ 1/3 & 1/5 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

问题： 两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？排序

3.层次单排序及一致性检验

层次单排序：肯定该层各因素对上层某因素影响程度的过程ip

先看一个简单的例子：一块石头重量记为1，打碎分为n个小块，各块的重量分别记为：w1，w2,……wn。数学

则能够获得成对比较矩阵

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 w 2 / w 1 . . . w n / w 1 w 1 / w 2 1 . . . w n / w 2 . . . . . . . . . . . . w 1 / w n w 2 / w n . . . 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A=\begin{bmatrix} 1&w1/w2&...&w1/wn\\ w2/w1&1&...&w2/wn\\ ...&...&...&...\\ wn/w1&wn/w2&...&1\\ \end{bmatrix}$

从该矩阵能够看出， $\frac{w_i}{w_j}=\frac{w_i}{w_k}*\frac{w_k}{w_j}$ ,即 $a_{ik}*a_{kj}=a_{ij} ,其中 i,j=1,2,…n$

然而这个性质不是必定成立的，好比对于2.例子中的A， $a_{23}=7,a_{21}=2,a_{13}=4$ ,可是 $a_{23}\neq a_{21}*a_{13}$

所以咱们定义，知足这个性质的正互反矩阵为一致阵

一致阵的性质：

$a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}},a_{ii}=1 \quad i,j=1,2,….,n$
$A^T$ 也是一致阵
A的各行成比例，即rank(A)=1
A的最大特征值为n，其他n-1个特征值均为0
A的任一列（行）都是对应于特征根n的特征向量。

定理：n阶互反阵A的最大特征根 $\lambda\ge n$ ,当且仅当 $\lambda=n$ 时，A为一致阵。

归一化：

若是成对比较矩阵是一致阵，则咱们天然会取其最大特征根n的归一化特征向量 $\{ w_1,w_2,…,w_n\}$ ,且 $\sum_{n=1}^Nw_i=1$ , $w_i$ 表示下层第i个因素对上层某因素影响程度的权值。
若是成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量做为权向量w。

$\lambda$ 比n大的越多，A的不一致性就越严重，引发的判断偏差也越大。所以能够用 $\lambda-n$ 的大小来衡量A的不一致程度。

定 义 一 致 性 指 标 C I = λ - n n - 1

$定义 \quad一致性指标\quad CI=\frac{\lambda-n}{n-1}$
其中n为A的对角线元素之和，也称为A的特征值之和。

随机构造500个成对比较矩阵 A1，A2，…A500

则可得一致性指标 $CI_1,CI_2,…,CI_500$

定 义 随 机 一 致 性 指 标 R I = C I 1 + C I 2 + . . . C I 500 500 = λ 1 + λ 2 + . . . λ 500 500 - n n - 1

$定义\quad随机一致性指标\quad RI=\frac{CI_1+CI_2+...CI_{500}}{500}=\frac{\frac{\lambda1+\lambda2+...\lambda{500}}{500}-n}{n-1}$
通常，当一致性比率 $CR=\frac{CI}{RI}<0.1$ 时，认为A的不一致程度在允许范围以内，可用其归一化特征向量做为权向量，不然要从新构形成对比较矩阵，对A加以调整。

一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。

4.层次总排序及其一致性检验

下面图过多，就偷懒贴ppt吧~

总结层次分析法的基本步骤

创建层次结构模型
构形成对比较矩阵
计算单排序权向量并作一致性检验
计算总排序权向量并作一致性检验

层次分析法建模举例

继续偷懒。。看ppt吧