程序员的数学2:几率统计读书笔记（一） 几率的定义一：蒙提霍尔问题

三门问题——亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。问题是这样的：

参赛者面前有三扇关闭着的门，其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就能够赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要更换选择，选另外一扇仍然关着的门。

 而后咱们的问题就是：是坚持原来的选择赢的可能性大，仍是更换选择赢的可能性大？

 

常见错误想法：

游戏开始，存在三种开始：

1）门1是正确答案（几率1/3）

2）门2是正确答案（几率1/3）

3）门3是正确答案（几率1/3）

假设参赛者选择了门3，而主持人开了门1，因而第一种状况不成立，只剩下两种可能：

1）门2是正确答案（几率1/3）

2）门3是正确答案（几率1/3）

此时，选择门2和门3都是1/2；

 

正确答案：

坚持原来的选择赢的可能性是三分之一，更换选择赢的可能性是三分之二。

下面将给出解答：

 

上帝视角

咱们以上帝的视角来考虑这个问题，咱们设定一共有360个平行世界，在一个世界中进行游戏的同时，另外359个世界也在进行着一样的游戏，只是游戏的过程有所不一样。咱们设定360个世界中，有120个世界里门1是正确答案，有120个世界里门2是正确答案，有120个世界里门3是正确答案。接下来由参赛者进行选择，其中在门1是正确答案的120个平行世界里，有40个世界参赛者选择门1，有40个参赛者选择门2，有40个参赛者选择门3，另外门2是正确答案的120个世界和门3是正确答案的120个世界也是如此。以上内容整理以下：

第二轮，由主持人打开一扇门。此时应该注意的是，若是参赛者选择的门是错误的，那么剩下的两扇门分别是一个正确一个错误，此时主持人只能打开错误的那扇门；若是参赛者选择的门是正确的，那么主持人能够在剩下的两扇门中任选一个。所以第二轮的结果以下

接下来，咱们从上帝的视角来观察这360个平行世界，不难发现，若是全部的参赛者都坚持原来的选择，那么只有120个世界的参赛者选择了正确答案；可是若是全部的参赛者都更换选择，则会有240个世界的参赛者选择了正确的答案。至于那些网上的争议，是由于他们没有考虑到这样的状况，参赛者选择了门3而主持人打开了门1的世界有60个，其中门3是正确答案的世界只有20个。

上帝视角的关键性在于，考虑存在平行世界的状况，对于某个特定的世界来讲，全部的结果都已经肯定，不存在任何随机事件，可是人们没法肯定本身身处那个世界，却能够由世界的总数和发生特定事件的世界的数量来计算自身所处在某个世界的几率

数学解释

对于上帝视角和平行世界，你可能不相信这么玄学的解释，那么，没办法了，只能经过数学计算来讲服你了。

先假定3个随机变量，设X是正确的门，Y是参赛者选择的门，Z是主持人打开的门。
我在这里只计算一种状况，有兴趣的读者能够本身去计算其余状况。
咱们考虑计算参赛者选择了门3而主持人打开了门1的状况下，门3是正确答案的几率，显然，这是一个条件几率：

此时，参赛者选到正确答案的几率为三分之一，而参赛者在第二轮改变了选择:

P(X=2|Y=3，Z=1)=1−P(X=3|Y=3，Z=1)=2/3

 

蒙提霍尔问题的其余解释

把3门扩大到100门，主持人打开其中98门

这种解释更好理解，可是不具备通用性