背包问题概述（Lintcode- 562.Backpack IV问题解决）

什么是背包问题

背包问题（Knapsack problem）是一种组合优化的NP彻底问题。问题能够描述为：给定一组物品，每种物品都有本身的重量和价格，在限定的总重量内，咱们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

背包问题是动态规划算法的一个典型实例。动态规划是对解最优化问题的一种途径。它每每是针对一种最优化问题，根据问题的不一样性质，肯定不一样的设计方法。详细能够查到往期文章进行回顾，这里主要围绕Lintcode 平台中的一个算法编程问题展开讲解。

背包问题的类型

背包问题分为0/1背包，多重背包、彻底背包这三大类:

0/1背包问题描述：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

对于一种物品，要么装入背包，要么不装。因此对于一种物品的装入状态能够取0和1.咱们设物品i的装入状态为xi,xi∈ (0,1)，此问题称为0/1背包问题。

例子：01背包问题描述：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，每件物品数量只有一个，如今给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具备最大的价值总和？

彻底背包问题描述：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大？

例子：有编号分别为a,b,c,d的四件物品，它们的重量分别是2,3,4,7，它们的价值分别是1,3,5,9，每件物品数量无限个，如今给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具备最大的价值总和？

彻底背包问题与01背包问题的区别在于每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有一个。

多重背包问题描述：给定N种物品和一个容量为C的背包，第i种物品最多有 Mi件可用，每件的重量是Wi，价值是Vi。问：将哪些物品装入背包可以使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大？

例子：多重背包问题描述：有编号分别为a,b,c的三件物品，它们的重量分别是1，2，2，它们的价值分别是6，10，20，他们的数目分别是10，5，2，如今给你个承重为 8 的背包，如何让背包里装入的物品具备最大的价值总和？

多重背包和01背包、彻底背包的区别：多重背包中每一个物品的个数都是给定的，可能不是一个，绝对不是无限个。

下面简单分析彻底背包的状况。

例子

给定一些物品数组和一个目标值，问有多少种能够组成目标的组合数，好比给定物品数组 [2,3,6,7] 和目标值 7, 那么就有2种可能：[7] 和 [2, 2, 3]。因此返回2。

分析思路

不一样于01背包问题的彻底背包问题，彻底背包问题强调了，每种物品都有无限件能够选取，那么咱们最终要检查的状态就不在是01背包问题中的O(VN)而是扩展成O(VSUM(V/cost[i]))件物品，显然由于扩展了可能选择的状况，咱们的时间复杂度激素飙升，在背包容量很是大，而且物品的耗费很小的时候，这种算法的时间复杂度显得力不从心。

咱们来写一下大概思路：

1. 最后一步

   F[n][m]表示前 n个有 多少种方式拼出m

   最后一个选上：F[n][m] = Sum(F[n-1][m-A[ki]])

   最后一个不选上：F[n][m] = F[n-1][m]

2. 顺序从小到大

3. 边界状况

   F[k][0] = 1

代码实现

public class Solution {
    /** * @param nums: an integer array and all positive numbers, no duplicates * @param target: An integer * @return: An integer */
    public int backPackIV(int[] nums, int target) {
        // write your code here
        int len = nums.length;
        if (len == 0) return 0;
        
        int[][] F = new int[len+1][target+1];
        
        
        for (int i = 0; i <= len; i++) {
            F[i][0] = 1;
        }
        
        for (int i = 1; i <= len; i++ ) {
            int item = nums[i-1];
            for (int k = 1; k <= target; k++) {
                F[i][k] = F[i-1][k];
                if (k >= item) {
                    F[i][k] += F[i][k - item];
                }
            }
        }
        
       
        return F[len][target];
    }
}
复制代码

参考资料

1. 背包问题详解：01背包、彻底背包、多重背包
2. 背包问题九讲02-彻底背包问题总结

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