92 背包问题

原题网址：https://www.lintcode.com/problem/backpack/description

描述

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每一个物品的大小为A[i]

你不能够将物品进行切割。

您在真实的面试中是否遇到过这个题？  是

样例

若是有4个物品[2, 3, 5, 7]

若是背包的大小为11，能够选择[2, 3, 5]装入背包，最多能够装满10的空间。

若是背包的大小为12，能够选择[2, 3, 7]装入背包，最多能够装满12的空间。

函数须要返回最多能装满的空间大小。

挑战

O(n x m) time and O(m) memory.

O(n x m) memory is also acceptable if you do not know how to optimize memory.

标签

背包问题

LintCode 版权全部

动态规划(DP)

 

思路：

背包问题是动态规划的一种题型，它的特色以下：

1. 用值做为dp维度
2. dp过程就是填写矩阵
3. 能够用滚动数组进行优化  转自此文

dp【i】【j】表示前 i 个物品放到容量为 j 的背包里可以占用的最大致积。

状态转移方程为：dp【i】【j】= max（dp【i-1】【j】，dp【i-1】【j-A【i】】+A【i】）。

每一个物品只有两种状态，放或者不放。对于容量为 j 的背包，放入第 i-1 件物品后占用的最大致积为dp【i-1】【j】，如今考虑第 i 件物品。

不放，dp【i】【j】=dp【i-1】【j】；

放，须要从 j 中腾出A【i】的空间，再看剩余的空间放前 i-1 件物品最大能占多少空间，即dp【i】【j】=A【i】+ dp【i-1】【j-A【i】】。（注意前提是 j >= A【i】）

最后的dp【i】【j】就是上述两种状况的较大值。

 

AC代码，时间复杂度O（m×n），空间复杂度O（m×n）：

class Solution { public: /** * @param m: An integer m denotes the size of a backpack * @param A: Given n items with size A[i] * @return: The maximum size */
    int backPack(int m, vector<int> &A) { // write your code here
    if (A.empty()) { return 0; } int size=A.size(); vector<vector<int>> dp(size,vector<int>(m+1,0)); //初始化第一行,即只有第一个物品时,若背包容量大于等于A[0],放物品能占用的最大空间为A[0];
    for (int j=0;j<=m;j++) { if (j>=A[0]) { dp[0][j]=A[0]; } } //计算dp其余元素;
    for (int i=1;i<size;i++) { for (int j=0;j<=m;j++) { if (j>=A[i])//能放A[i],计算此时的最大致积，注意是大于等于;
 { dp[i][j]=dp[i-1][j-A[i]]+A[i]; } dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j]); } } return dp[size-1][m]; } };

 

PS：状态转移方程简而言之就是，背包容量为 j 时，能放得下 i 就腾出A【i】的空间，再看剩余的空间放前 i-1 件物品最大能占多少空间，两者之和与不放 i 能占用的最大致积比，哪一个大就取哪一个；放不下就直接看0~i-1能占用 j 的最大容量是多少；

再PS：dp数组优化前，j是从前向后遍历仍是从后向前遍历都不影响其结果，由于计算当前i是参照i-1时的数据。 

 

利用滚动数组优化空间复杂度：

建立一维动态数组dp，dp【j】仍然表示前 i 个物品放到容量为 j 的背包里可以占用的最大致积。

状态转移方程为：j从m依次递减到0，dp【j】= max（dp【j】，dp【j-A【i】】+A【i】）。

推导思路与二维dp相同。只不过代码实现的时候要注意，列方向须要从后向前计算（防止覆盖未参加计算的上一行数据），这样就实现了用当前行不断代替前一行。

不难理解，i=0时是正常计算的。i≠0时，二维dp【i】【j】= max（dp【i-1】【j】，dp【i-1】【j-A【i】】+A【i】），注意等号右边的dp数组行下标都是i-1，即前一行的数据。一维dp时，j从后向前遍历，则参与计算的dp【j】与dp【j-A【i】】都是上一行的值。

 

AC代码：

class Solution { public: /** * @param m: An integer m denotes the size of a backpack * @param A: Given n items with size A[i] * @return: The maximum size */
    int backPack(int m, vector<int> &A) { // write your code here
    int size=A.size(); vector<int> dp(m+1,0); for (int i=0;i<size;i++) { for (int j=m;j>=0;j--)//从后向前计算，保证了参与运算的是上一行的dp[j]与dp[j-A[i]];
 { if (j>=A[i])//注意是大于等于;
 { dp[j]=max(dp[j],dp[j-A[i]]+A[i]); } } } return dp[m]; } };

 

 

参考：

lintcode backpack 背包问题  讲解清晰易懂

lintcode：背包问题

【LintCode】Backpack 背包问题

LintCode背包问题总结  总结了一系列背包问题，能够好好参考。

[LintCode] Backpack I II III IV V VI [背包六问]