【matlab】ode45求解二阶微分方程，绘制曲线图 | 使用函数句柄的方法

朋友问题： 有微分方程以下：
$m \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} exp(t) - y^2 = 5$
其中， $y(t=0)=1$， $dy/dt (t=0) = -10$。
请在区间 $[0, 5]$内绘制两个子图，分别为 $dy/dt$与 $y$，每一个子图涵盖 $m=1$与 $m=2$两种状况。

因此本题的核心问题在于：用数值计算的方法求解该方程，获得各点，绘制点图。

使用 matlab 自带的 ode45 ，方程组用句柄表示。

ode45 参见教程：如何使用ODE45

首先把题目方程转换，转换为 ode45 能理解的方式。

先声明变量：
$\begin{aligned} y_1 & = y \\ y_2 & = y' \\ \end{aligned}$

因而整理方程：

$\begin{aligned} y_1' & = y_2 \\ y_2' & = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2) \end{aligned}$

因而咱们知道，ode45中要有2个变量，且将其右边的式子分别表示出来，即：

dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];

其中：

• y(2)表明 $y_1' = y_2$；
• (5 - y(1)*exp(y(2)) + y(2)^2)/m表明 $y_2' = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2)$。

接着，规定初值： $y(t=0)=1$， $dy/dt (t=0) = -10$。

y10 = 1;
y20 = -10;

规定自变量 $t$ 范围：

tspan = [0, 5];

输入 ode45 则为：

[t, y] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);

整个题目的代码为：

% 表示该方程组
m = 1;
dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
y10 = 1;
y20 = -10;
tspan = [0, 5];

% m = 1
[t_m_1, y_m_1] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);
% m = 2
m = 2;
dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
[t_m_2, y_m_2] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);

% plot
subplot(1, 2, 1);
plot(t_m_1, y_m_1(:, 2));
hold on
plot(t_m_2, y_m_2(:, 2));
title('dy/dt')
legend('m=1','m=2')

subplot(1, 2, 2);
plot(t_m_1, y_m_1(:, 1));
hold on
plot(t_m_2, y_m_2(:, 1));
title('y')
legend('m=1','m=2')

顺便学了 ode45 ，不错。