离散时间信号与系统-时域：4

18.冲击响应

线性时不变系统是一个拓普利兹矩阵H，该矩阵能够用h[n-m](其中n或m必定有一个0.例如：= h_n,0表示其中第0列，即m=0；h是一个列向量)，因此等于h[n]_。就含有矩阵的所有信息（0处于矩阵的中心）。

同时，也等于h[n-m]，即任何n,m点的值都用h向量表达出来，这个结论更重要。

 

使用delta冲击函数，能够获得该矩阵的第0列所有信息，即delta冲击信号通过该系统，获得的系统响应（输出），就能够获得系统的拓普利兹矩阵H。

根据前面对矩阵相乘的理解：系统输出至关于以delta为权值，对矩阵H的每一列进行加权，再对每一行进行求和，由于delta函数中只有n=0的位置有值，因此该操做获得H的第0列（这就是h[n],或者说h_n,0）

线性时不变系统的通常化公式以下：系统的输出y[n]为关于n的函数，这里的h[n-m]由以前的推到获得。

将输入x变为冲击信号delta，获得delta冲击的响应就是h[n]，即含有H的所有信息（可是h到H须要一个转化过程，h不直接等于H）

利用冲击函数获得冲击相应h，从而获得矩阵H是一个标准过程，有趣。

例：计算缩放系统的冲击响应，即获得系统的h。利用冲击信号代替输入信号x[n],获得输入响应，最后根据H到h的转换公式，获得系统的拓普利兹矩阵。

 

注意：这个系统中只有主对角线的位置有值，其余位置为0。能够从三个角度理解：

第三，[H]_n,m=h[n-m]，而h[n]=2delta[n]也是个LTI系统，因此h[n-m]=2delta[n-m]。

第一，就是h[n-m]只有在位置n和m同时为0处有值，而拓普利兹矩阵是根据第0列的元素，在对角线方向复制对应元素构成。

第二，将n和m带入其中，获得每一个点的元素，只有在n=m的时候，h才存在值。

 

y[n]=x[n-2]位移系统的冲击响应。

位移系统是在上面的系统进行位移获得的结果。

第一种理解：将第0列h[0]向正方向移动两位，而后利用拓普利兹矩阵的性质构造H。

第二种理解：n-m-2=0的位置才有值。

Moving Average System的冲击响应。

递归平均系统的冲击响应。

首先，H{delta[n]}=delta[n]+alpha*delta[n]. delta[0]时才有值,因此n<0时,没有值.而根据递归的公式表达:y[0]=1,y[1]=alpha,y[1]=alpha^2.

有限长度的LTI系统，回忆循环矩阵的定义,大体与无限信号的矩阵相似,不一样的是矩阵H中,每一列都是以第0列(有限信号的0列从第一列开始了哦)为基础的圆环位移(圆环模运算).

有限信号的冲击响应,其结果与无限的相同,可是注意0列和0行的位置.

有人问了:这个0是怎么规定的?

其实,是人为规定的.有限信号的定义从0到N-1,因此H的第一列为0很正常.

而无限信号,定义中间为0比较好看,(从数学上也是以中间为对称,两边无限延伸)

 

有限信号的冲击响应与无限的也同样喽

总结:

LTI系统至关于将输入信号乘以无限大小的拓普利兹矩阵(无限信号)或者是N*N(有限信号)大小的循环矩阵H.

一个LTI系统的冲击响应=进入该系统的冲击信号的响应,具备两个性质:

该冲击响应表示了系统矩阵H的第0列。

该冲击响应具备该LTI系统的所有信息。

那么这个h如何能够获得输入信号呢？具体公式以下：

19.卷积（无限长度信号）

三种计算LTI系统输出的方法：

H定义为公式或者算法，每一个时间输入x[n]，从而获得输出y[n].

获得冲击响应h,从而获得系统的拓普利兹矩阵H,最后直接利用矩阵相乘获得.(无限矩阵很差算,不经常使用)

获得冲击响应h,而且根绝每一个输入时间n,获得矩阵的第n行与信号x的内积.这叫作卷积.(经常使用)，注意卷积的符号表达。

卷积就是内积的一个序列(每一个n对应一个内积)。
其中x[n]是向量，不一样的n表明同一个输入信号；h[n]是个矩阵，每一个n表明不一样的向量，矩阵中的一行

从公式的理解上: h是系统的冲击响应,h[n]表示了系统矩阵H的第0列(h[n]=h_n,0)的信息.而系统的第0行的信息是其时序的反转(h[m]=h_0,-m),即h[m]=h[-n].

而第0行与x的内积就是y[0]的值,即y[0]=<h[m]_,x[m]>。同理，为了计算其余的y[n]，只要在第0行（h[m]）的基础上向上、下进行移位,获得H中相应的该行的值（拓普利兹矩阵性质）,而且与x求内积就行了，即h[n-m]x[m]。

这与矩阵角度理解彻底相同！这与矩阵角度理解彻底相同！这与矩阵角度理解彻底相同！

由于卷积具备交换律，因此必定要肯定h和x的前后顺序。

在第5步的内积计算中，不要对第二个信号进行复数共轭的变换（只对第一个进行复数共轭转置的操做，看前面章节）

例子：

当n为0时候，h[-m]含有H的所有信息，此处前提条件：h[n]=x[n]，因此h[-m]是就为x[-m].即m=0，-1，-2时有值。

计算n=-1时的输出

推出n小于等于-1时,y=0

计算n=0

计算n=1

计算n=2

以此类推，获得全部的值：

卷积例子2：

计算n小于0时

例如：n=2时，自变量m=0,1,2，一共有三个元素叠加。

若是n为更通常的状况，就是n大于0的时候，卷积就从自变量m=0开始，到m=n结束。

随着n的增长，y向2不断接近。

总结：

卷积就是输入信号和一系列冲击信号的的时序反转，位移的内积。

20.循环卷积（有限信号）

循环卷积例子1：

n=0时候

 

n=1的时候，在h[-m]_s下，正向位移1位。

n=2时，正向旋转2位。

以此类推：

总结：

注意循环卷积clock的旋转操做。

练习课：

滤波器中冲击响应越长，及滤波器越大，则信号被模糊的越厉害，可是噪声除掉的比较好；而短的冲击响应能够保持信号的特性，可是噪声不会除掉的很好，这里面须要trade off

还有能够检测边缘的滤波器。

21.卷积的性质

 

卷积符合交换律。

串联: 信号通过两个连续的滤波器，至关于通过 该两个滤波器的卷积(做为一个总体滤波器)

一个冲击信号delta通过系统h1，经过与该系统的冲击响应h1与delta的卷积(有点绕，其实h1也就是所求)，就是获得该系统的矩阵H或者h1（也是该冲击信号的响应）。

而信号h1通过h2，就是h1与h2的卷积结果。

系统的并行性：

 

因果系统，n小于0的时候，输出信号为0. 因果系统就是一个下三角的拓普利兹矩阵。

卷积的持续时间：

这个持续时间表示信号存在值（x[n]>0）的n的个数是有界的便可。而不是说信号的时间n有界。

有限冲击系统，就是指h的duration是有限的，即h只在一段时间内有不为0的值。

无限冲击响应

假设两个信号是无限的，可是两个信号的持续D的长度是有限的。

两个无限长度信号的卷积为：Dx+Dh-1

具体：分别将Dx和Dh提出来，而且padding 上0,获得x'和y'。

总结：

 

22.稳定系统

从题目就是看得出来，想看一个复杂系统是否是够稳定，例如空间站，很是复杂，环境复杂，振动方式复杂，要计算整个系统是否是够稳定。

当alpha是1/2时，系统behave比较好，上限是2；而3/2时，系统的behave就不是那么好了，无穷大的一个上限。

BIBO稳定性：有界的输入产生有界的输出。

 

 

 充分条件：

h的1范数小于无穷，则系统为BIBO。

 

证实其必要性：

 只要证实再h的1范数为无穷的状况下，系统不是BIBO的，即存在一个信号的无穷范数小于无穷，可是输出y却等于无穷。

 sign函数就是当自变量大于0，该函数为正，若是函数值为负，则该函数为负数。

例子：

FIR系统都是BIBO的。

 

总结：